1. Γραμμές του επιπέδου

Η επίπεδη γραμμή είναι μια γεωμετρική έννοια που γίνεται αντιληπτή από την νόηση και την εμπειρία μας. Πιο απλά μπορούμε να πούμε ότι γραμμή είναι ένα συνεχές σύνολο σημείων που έχει μήκος αλλά όχι πλάτος.  Π.χ.  Το ίχνος  ενός κινούμενου μολυβιού πάνω στο επίπεδο είναι μία γραμμή του επιπέδου.

Μία γραμμή μπορεί να ορισθεί από μία  κοινή ιδιότητα που θέλουμε να έχουν τα σημεία της. Λέμε τότε ότι έχουμε έναν γεωμετρικό τόπο. Ο κύκλος  είναι ένας γνωστός γεωμετρικός τόπος  ?

Γραμμές , όπως η ευθεία  , ο κύκλος , η παραβολή , η έλλειψη , η υπερβολή  κ.τ.λ. είναι γνωστές από την αρχαιότητα, και η μελέτη τους αρχικά έγινε με καθαρά γεωμετρικές  μεθόδους . Πολύ αργότερα ?17^ος  αιώνας ? οι γεωμετρικές ιδιότητες των γραμμών μελετήθηκαν και με αλγεβρικές μεθόδους,  με αποτέλεσμα από την  σύνθεση αυτή της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα  να  δημιουργηθεί ένας νέος κλάδος  η Αναλυτική Γεωμετρία .  Η σπουδαιότητα της  Αναλυτικής  Γεωμετρίας  , οφείλεται στο γεγονός ότι μπορούμε ευκολότερα να μελετήσουμε μία αλγεβρική εξίσωση, παρά μία γεωμετρική γραμμή.  

Για την Αναλυτική Γεωμετρία  θεμελιώδεις είναι οι έννοιες:

i)  του συστήματος  καρτεσιανών συντεταγμένων

ii) της εξίσωσης μιας γραμμής του επιπέδου 

Μερικές διάσημες γραμμές

Έλιξ του Αρχιμήδους	Λημνίσκος του Βernoulli	Kογχοειδής του Νικομήδους

 

Μία εφαρμογή με το Geogebra

Με την εφαρμογή παρακάτω θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε την εξίσωση μιας γραμμής.

Δίνεται μία εξίσωση η c:y=x²-4

• Βάζουμε στην εξίσωση τιμές στο x και υπολογίζουμε την αντίστοιχη τιμή του y.

Αυτό στην εφαρμογή γίνεται αυτόματα μετακινώντας τον δρομέα χ.

• Έτσι προκύπτουν ζεύγη (x, y) που είναι λύσεις της εξίσωσης.

Αυτά μπορούμε να τα δούμε στην εφαρμογή δεξιά στον πίνακα τιμών (x, y).

• Παίρνουμε τα σημεία Μ(b, c), τα οποία έχουν για συντεταγμένες τα ζεύγη που είναι λύση της εξίσωση, και τα τοποθετήσουμε στο καρτεσιανό επίπεδο .

Στην εφαρμογή σέρνοντας τον δρομέα χ τοποθετούνται αυτόματα και η εφαρμογή είναι κατασκευασμένη έτσι ώστε να τοποθετήσει 21 σημεία.

• Καταλαβαίνουμε ότι , θεωρητικά, αν κάποιος τοποθετήσει όλα τα άπειρα ζεύγη που προκύπτουν βάζοντας στις τιμές του x όλες τις πραγματικές τιμές , τότε θα προκύψει ένα σύνολο σημείων που θα είναι η γραμμή με εξίσωση c:y=x²-4 και η συγκεκριμένη γραμμή λέγεται παραβολή.

Στην εφαρμογή για να δούμε την γραμμή που προκύπτει αρκεί να πατήσουμε το κουμπί "εμφάνιση παραβολής"

Αν θέλετε να αρχικοποιηθεί το περιβάλλον πατήστε στα γραφικά πάνω δεξιά το διπλό βέλος και αρχίστε το πείραμα από την αρχή.

 

Εξίσωση γραμμής  C του επιπέδου:

Είναι μια εξίσωση με δύο αγνώστους  x , y που έχει τις ιδιότητες

i) Oι συντεταγμένες κάθε σημείου της γραμμής C επαληθεύουν την   εξίσωση και αντίστροφα:

ii) Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση , τότε το σημείο ανήκει στην γραμμή  C

     Δηλαδή αν συμβολίσουμε φ(x , y)=0 , την εξίσωση της γραμμής C, τότε:

Aν το Μ(x₁,y₁) είναι σημείο της  C , θα ισχύει φ(x₁ , y₁)=0

Αν ισχύει φ(α , β)=0 ,τότε το Ν(α , β) είναι σημείο της C

Για παράδειγμα το σημείο Α(1, 7) δεν ανήκει στην παραβολή γιατί αν στην εξίσωση της παραβολής αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του  παίρνουμε

7=1²-4⇔7=-3 ψευδής.