Βασικά στοιχεία πολυωνύμων

 

P(x) = α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 + ... + α₁x + α₀

• αν α_ν≠0 τότε το P(x) είναι ν βαθμού π.χ. το  P(x) = 2x³-5x²+x-1 είναι 3^ου  βαθμού .Το P(x) = 0x⁵+0x⁴+2x²+1 είναι 2^ου βαθμού.
• αν α_ν= α_ν-1 = ... =α₁= 0 και α₀ ≠0 τότε είναι μηδενικού βαθμού και λέγεται σταθερό πολυώνυμο π.χ. P(x) = 8
• αν α_ν= α_ν-1 = ... =α₁= α₀ = 0 δηλ P(x) = 0x^ν + 0x^ν-1 + ... + 0x + 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο , ο βαθμός του δεν ορίζεται . (σταθερό πολυώνυμο)

Το P(x₀) λέγεται αριθμητική τιμή  ή απλά τιμή του πολυωνύμου στο x₀ .

Aν P(x₀) = 0 το x₀ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου.

π.χ. P(x) = 2x³-2x²+x-1 , Ρ(2) = 2·2³ - 2·2² + 2 – 1 = 9 το 9 είναι τιμή του  P(x) στο       x₀ = 2 ενώ Ρ(1) = 2·1³ -2 ·1² + 1 – 1 = 0 το x₀ = 1 λέγεται ρίζα του P(x) .

 

ΣΧΟΛΙΑ :

• Ένα πολυώνυμο ν βαθμού έχει το πολύ ν πραγματικές ρίζες
• P(x) = 0 για κάθε x∈ℝ το P(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Βρείτε το βαθμό του P(x) = (λ²-1)x³ + ( λ²-3λ+2)x+λ-1

Λύση

• αν λ²-1≠0 ⇔ λ²≠1 ή λ≠±1 τότε το P(x) είναι 3^ου  βαθμού
• αν λ = 1 τότε P(x) = 0·x³ + 0·x + 0 μηδενικό πολυώνυμο ο βαθμός του δεν ορίζεται
• αν λ = -1 τότε P(x) = 0·x³ + 6·x – 2 τότε το P(x) είναι 1^ου  βαθμού.