Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου

Υπενθυμίζουμε τις ιδιότητες των πράξεων στους πραγματικούς αριθμούς αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική και την προτεραιότητα: πρώτα παρενθέσεις, μετά δυνάμεις, μετά πολλαπλασιασμός–διαίρεση, στο τέλος πρόσθεση – αφαίρεση.

Παράδειγμα

Να υπολογίσεις: $3 - 2\cdot\left( 5 - 7\right)^{2} $.

Λύση:

Πρώτα παρενθέσεις: $\left( 5 - 7\right)$
Δύναμη: $\left( - 2\right)^{2} = 4 $
Πολλαπλασιασμός: $ 2\cdot 4 = 8 $
Τελικά: $ 3 - 8 = -5 $.

Μικρές ασκήσεις

1. Να υπολογίσεις $\ 2\cdot\left(3 - 5\right)^{2} + 4 $.
2. Να υπολογίσεις τις $\ -3^{2} + 2\cdot 5$ και $\left(-3\right)^{2} + 2\cdot 5$ και να τις συγκρίνεις.

Μονώνυμο λέγεται μια αλγεβρική παράσταση της μορφής $\alpha x^{n}$ ή με περισσότερες μεταβλητές , όπου α πραγματικός αριθμός και n φυσικός. Ο α λέγεται συντελεστής και ο n εκθέτης.

Παράδειγμα 1

Το $5x^{3}y^{2}$ είναι μονώνυμο. Συντελεστής: 5, βαθμός: 3+2 = 5.

Παράδειγμα 2 – Πολλαπλασιασμός μονωνύμων

Να υπολογίσεις το γινόμενο $3x^{2}\cdot (-2x^{3})$

Λύση:

Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές και προσθέτουμε τους εκθέτες: \[ 3x^{2}\cdot(-2x^{3}) = 3\cdot(-2)\cdot x^{2+3} = -6x^{5}. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να βρεις τον βαθμό των μονωνύμων: α) $ 7x^{4} $, β) $-3x^{2}y^{3} $, γ) $5a^{2}b $.
2. Να υπολογίσεις: α) $ (2x^{3})\cdot(3x^{2}) $, β) $ (-4x)\cdot\left(\dfrac12 x^{2}\right) $.

Πολυώνυμο είναι άθροισμα ή διαφορά μονωνύμων, π.χ. $2x^{2} - 3x + 5 $. Όροι με την ίδια μεταβλητή και ίδιο εκθέτη ονομάζονται όμοιοι όροι.

Παράδειγμα – Πρόσθεση πολυωνύμων

Να υπολογίσεις: \[ (2x^{2} - 3x + 1) + (x^{2} + 5x - 4). \]

Λύση:

Ομαδοποιώ όμοιους όρους: \[ (2x^{2} + x^{2}) + (-3x + 5x) + (1 - 4) = 3x^{2} + 2x - 3. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να υπολογίσεις \[ (3x^{2} - 4x + 7) + (x^{2} + 2x - 5). \]
2. Να υπολογίσεις \[ (5x - 3) - (2x + 4). \]

Για τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα: κάθε όρος του ενός πολυωνύμου πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο του άλλου.

Παράδειγμα

\[ (x + 2)(x - 3) = x(x - 3) + 2(x - 3) = x^{2} - 3x + 2x - 6 = x^{2} - x - 6. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να υπολογίσεις $(2x - 1)(x + 3)$.
2. Να αναπτύξεις το γινόμενο $(x + 4)(x + 1)$.

Οι βασικές ταυτότητες είναι:

\[ (α + β)^{2} = α^{2} + 2αβ + β^{2} \] \[ (α - β)^{2} = α^{2} - 2αβ + β^{2} \] \[ α^{2} - β^{2} = (α - β)(α + β) \]

Παράδειγμα 1

Να αναπτύξεις το $(x + 5)^{2}$.

Λύση:

\[ (x + 5)^{2} = x^{2} + 2\cdot x \cdot 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25. \]

Παράδειγμα 2

Να παραγοντοποιήσεις το $ 9x^{2} - 16$.

Λύση:

\[ 9x^{2} - 16 = (3x)^{2} - 4^{2} = (3x - 4)(3x + 4). \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να αναπτύξεις τα παρακάτω χρησιμοποιώντας ταυτότητες: α) $ (x - 3)^{2}$, β) $ (2x + 1)^{2}$.
2. Να παραγοντοποιήσεις: α) $x^{2} - 25$, β) $4x^{2} - 9$.

Παραγοντοποίηση σημαίνει να γράψουμε μια παράσταση ως γινόμενο παραγόντων. Χρησιμοποιούμε:

• Κοινό παράγοντα
• Αξιοσημείωτες ταυτότητες
• Ομαδοποίηση

Παράδειγμα 1 – Κοινός παράγοντας

\[ 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2). \]

Παράδειγμα 2 – Τριώνυμο

Να παραγοντοποιήσεις το $ x^{2} - 5x + 6 $.

Λύση:

Βρίσκουμε δύο αριθμούς με άθροισμα -5 και γινόμενο 6 → -2 και -3: \[ x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να παραγοντοποιήσεις: α) $5x^{2} - 10x $ β) $4x^{2} - 12x $.
2. Να παραγοντοποιήσεις: α) $x^{2} + 3x + 2$, β) $x^{2} - x - 6$.

Στη διαίρεση πολυωνύμων ξεκινάμε από τους μεγαλύτερους βαθμούς. Πιο απλή περίπτωση είναι η διαίρεση με μονώνυμο.

Παράδειγμα

Να υπολογίσεις: \[ \frac{6x^{3} - 9x^{2}}{3x}. \]

Λύση:

Χωρίζουμε σε δύο κλάσματα: \[ \frac{6x^{3}}{3x} - \frac{9x^{2}}{3x} = 2x^{2} - 3x. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να υπολογίσεις \[ \frac{8x^4 - 4x^{3}}{4x^{2}}. \]
2. Να υπολογίσεις \[ \frac{10x^{2} - 5x}{5x}. \]

Για να βρούμε Μ.Κ.Δ. ή Ε.Κ.Π. πολυωνύμων:

• Παραγοντοποιούμε πρώτα τα πολυώνυμα.
• Για Μ.Κ.Δ.: κοινές δυνάμεις παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη.
• Για Ε.Κ.Π.: όλοι οι παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

Μικρή άσκηση

Να βρεις Μ.Κ.Δ. και Ε.Κ.Π. των: \[ A(x) = x^{2} - 4,\quad B(x) = x^{2} - x - 2. \] Υπόδειξη: πρώτα παραγοντοποίησε τα.

Ρητή αλγεβρική παράσταση είναι μια παράσταση της μορφής $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, όπου $P, Q$ πολυώνυμα και $Q(x) \neq 0$.

Παράδειγμα

Δίνεται η παράσταση \[ A(x) = \frac{x + 1}{x - 2}. \] Ποιος είναι ο περιορισμός;

Λύση: Δεν επιτρέπεται ο παρονομαστής να μηδενίζεται: \[ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να βρεις τον περιορισμό της \[ B(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}. \]
2. Να απλοποιήσεις όπου επιτρέπεται: \[ \frac{x^{2} - 1}{x - 1}. \]

Για πρόσθεση/αφαίρεση ρητών παραστάσεων βρίσκουμε κοινό παρονομαστή συνήθως Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, ενώ για πολλαπλασιασμό/διαίρεση δουλεύουμε όπως με κλάσματα.

Παράδειγμα – Πρόσθεση

Να υπολογίσεις: \[ \frac{x}{x-1} + \frac{1}{x-1}. \]

Λύση:

Ίδιος παρονομαστής: \[ \frac{x}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x + 1}{x - 1}. \]

Παράδειγμα – Πολλαπλασιασμός

\[ \frac{x}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x}{x-2},\quad x \neq -1, 2. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να υπολογίσεις: \[ \frac{2}{x} - \frac{1}{x}. \]
2. Να υπολογίσεις και να απλοποιήσεις: \[ \frac{x}{x-3}\cdot \frac{x-3}{x+2}. \]

Γραμμικές εξισώσεις με έναν άγνωστο, λύση με μεταφορά όρων και διαίρεση με τον συντελεστή του $x$.

Γενικός τύπος λύσης: αν $\alpha x + \beta = 0$ και $\alpha \neq 0$, τότε: $$ x = -\frac{\beta}{\alpha}. $$

Παράδειγμα 1

Να λυθεί η εξίσωση: $$ 3x + 9 = 0. $$

Λύση:

Μεταφέρουμε το 9 στο δεύτερο μέλος:

$$ 3x = -9 $$

Διαιρούμε με τον συντελεστή του $x$:

$$ x = \frac{-9}{3} = -3. $$

Παράδειγμα 2

Να λυθεί η εξίσωση: $$ -5x + 20 = 0. $$

Λύση:

$$ -5x = -20 $$ Άρα: $$ x = \frac{-20}{-5} = 4. $$

Παράδειγμα 3 – Άγνωστο σε δύο μέλη

Να λυθεί η εξίσωση: $$ 7x - 5 = 2x + 10. $$

Λύση:

Φέρνουμε όλους τους όρους με $x$ στο ένα μέλος και τους αριθμούς στο άλλο:

$$ 7x - 2x = 10 + 5 $$ $$ 5x = 15 $$ $$ x = 3. $$

Παράδειγμα 4 – Κλάσματα

Να λυθεί η εξίσωση: $$ \frac{x}{3} - 2 = 4. $$

Λύση:

$$ \frac{x}{3} = 6 $$ Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 3: $$ x = 18. $$

Ασκήσεις

1. Λύσε την εξίσωση: $$ 4x - 12 = 0 $$
2. Λύσε: $$ -2x + 5 = 1 $$
3. Λύσε: $$ \frac{2x}{5} + 3 = 7 $$
4. Λύσε: $$ 6x - 8 = 2x + 4 $$

Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με άγνωστο $x$ έχει γενική μορφή:

$ \alpha x^{2} + \beta x + \gamma = 0,\qquad a \neq 0 $

Οι αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma $ λέγονται συντελεστές, ενώ το $\gamma$ λέγεται σταθερός όρος. Κάθε αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση είναι ρίζα της.

Α. Επίλυση με παραγοντοποίηση

Αν το τριώνυμο μπορεί να γραφτεί στη μορφή:

$ a(x - \rho_1)(x - \rho_2) = 0 $

τότε οι λύσεις είναι: $x = \rho_1$ ή $x = \rho_2$.

Παράδειγμα 1

Λύσε: $ (x - 3)(x + 2) = 0 $

• $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Λύσεις: $x = 3$ ή $x = -2$.

Παράδειγμα 2

Λύσε: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $

• Ψάχνω δύο αριθμούς που να έχουν άθροισμα $-5$ και γινόμενο $6$ → είναι οι $-2$ και $-3$.
• $ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
• Άρα: $(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2$ ή $x = 3$.

Β. Επίλυση με διακρίνουσα

Ορίζουμε:

$ \Delta = \beta^{2} - 4 \alpha \gamma $

• $\Delta > 0$: δύο διαφορετικές πραγματικές λύσεις,
• $\Delta = 0$: μία πραγματική διπλή λύση,
• $\Delta\lt 0$: καμία πραγματική λύση.

Οι λύσεις δίνονται από τον τύπο:

$ x = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} $

Παράδειγμα 3

Λύσε: $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $

Έχουμε $\alpha = 2,\beta = -3,\gamma = -2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $

$ x = \frac{3 \pm 5}{4} $

Άρα $x_1 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$ και $x_2 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}$.

Γ. Σχέση ριζών και τριωνύμου

Αν οι ρίζες είναι $\rho_1, \rho_2$, τότε:

$ \alpha x^{2} + \beta x + \gamma = \alpha (x - \rho_1)(x - \rho_2) $

Ασκήσεις χωρίς λύση

1. Λύσε: $ x^2 - 7x + 10 = 0 $
2. Να βρεις τις ρίζες της εξίσωσης: $ x^2 + 4x + 4 = 0 $
3. Να ελέγξεις αν η εξίσωση $ 3x^2 + x + 5 = 0 $ έχει πραγματικές λύσεις.
4. Να βρεις τριώνυμο με ρίζες $2$ και $-3$ και συντελεστή $a = 1$.

Μετάφραση λεκτικών προβλημάτων γεωμετρικών, αριθμητικών και καθημερινών σε εξίσωση δευτέρου βαθμού και λύση της.

Παράδειγμα 1 – Γεωμετρικό πρόβλημα

Το ορθογώνιο έχει εμβαδόν 48 τ.εκ. Αν το μήκος είναι κατά 2 cm μεγαλύτερο από το πλάτος, να βρεθούν οι διαστάσεις του.

Λύση:

Έστω πλάτος = $x$ Τότε μήκος = $x+2$. Εμβαδόν: $x(x+2) = 48 $

\[ x^2 + 2x - 48 = 0 \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \]

Πιθανές λύσεις: 6, -8. Απορρίπτεται το -8 το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Άρα πλάτος = 6 cm, μήκος = 8 cm.

Παράδειγμα 2 – Αριθμητικό πρόβλημα

Το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών αριθμών είναι 132. Να βρεθούν οι αριθμοί.

Λύση:

Έστω ο πρώτος αριθμός = $x$. Ο επόμενος = $x+1$.

\[ x(x+1) = 132 \] \[ x^2 + x - 132 = 0 \]

\[ Δ = 1 + 528 = 529 = 23^2,\quad x = \frac{-1 \pm 23}{2} \]

Θετική λύση: $x = 11$ , ο άλλος είναι $12$.

Παράδειγμα 3 – Καθημερινό πρόβλημα

Ένα αυτοκίνητο διανύει 180 km. Αν αύξανε την ταχύτητά του κατά 20 km/h, θα έκανε τη διαδρομή σε 1 ώρα λιγότερο. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα.

Λύση:

Έστω αρχική ταχύτητα = $x$km/h. Χρόνος = $\frac{180}{x} $

Αν η ταχύτητα αυξηθεί κατά 20 km/h, ο χρόνος είναι $\frac{180}{x+20} $.

Δίνεται ότι: \[ \frac{180}{x} - \frac{180}{x+20} = 1 \]

Λύση: \[ 180(x+20) - 180x = x(x+20) \] \[ 3600 = x^2 + 20x \] \[ x^2 + 20x - 3600 = 0 \]

\[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 14400}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{14800}}{2} = \frac{-20 \pm 20\sqrt{37}}{2} = -10 \pm 10\sqrt{37} \]

Πραγματική λύση θετική: $ x = -10 + 10\sqrt{37} \approx 51 km/h$.

Ασκήσεις

1. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι 196. Να βρεθεί η πλευρά του.
2. Το γινόμενο δύο αριθμών που διαφέρουν κατά 4 είναι 45. Να βρεθούν οι αριθμοί.
3. Μία δεξαμενή αδειάζει σε χρόνο t . Αν αυξήσουμε την παροχή κατά 5 L/min, ο χρόνος μειώνεται κατά 6 λεπτά. Να βρείτε τον αρχικό χρόνο.

Μια γραμμική εξίσωση δύο μεταβλητών έχει μορφή:

\[ \alpha x + \beta y = \gamma,\quad \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R},\ \left( \alpha,\beta \right)\neq(0,0) \]

$\left( x,y \right)$ που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση της και παριστάνει σημείο μιας ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο.

Παράδειγμα 1

Είναι το ζεύγος $\left( 2,1 \right)$ λύση της εξίσωσης $2x + y = 5$;

Λύση:

Αντικαθιστώ $x=2, y=1$: \[ 2\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5. \] Η ισότητα ισχύει ⇒ το $\left( 2,1 \right)$ είναι λύση.

Παράδειγμα 2 – Πίνακας τιμών

Για την εξίσωση $x + y = 4$ φτιάχνω πίνακα τιμών:

\[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 4 \\ 1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \]

Τα σημεία $\left( 0,4 \right)$ , $\left( 1,3 \right)$ , $\left( 2,2 \right)$ , $\left( 3,1 \right)$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Ασκήσεις

1. Να ελέγξεις αν το $\left( 1,2 \right)$ είναι λύση της εξίσωσης $3x - y = 1$.
2. Για την εξίσωση $2x + y = 6$ να βρεις τρία διαφορετικά ζεύγη $\left( x,y \right)$ που την επαληθεύουν.

Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει τη μορφή:

\[ \begin{cases}\alpha_1x + \beta_1y = \gamma_1\\ \alpha_2x + \beta_2y = \gamma_2 \end{cases} \]

Λύση του συστήματος είναι κάθε ζεύγος $\left( x,y \right)$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. Γεωμετρικά, οι δύο εξισώσεις παριστάνουν δύο ευθείες στο επίπεδο.

• Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο → μία λύση.
• Αν συμπίπτουν → άπειρες λύσεις.
• Αν είναι παράλληλες και διαφορετικές → καμία λύση.

Παράδειγμα – Γραφική ιδέα

Να μελετήσεις γραφικά το σύστημα: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

Κάθε εξίσωση είναι ευθεία. Αν σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων, θα τέμνονται σε ένα σημείο $\left( x,y \right)$ , το οποίο είναι λύση του συστήματος.

Αλγεβρικά γρήγορος έλεγχος: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \Rightarrow \text{προσθέτω κατά μέλη} \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3,\ y = 2. \]

Άρα το σημείο τομής είναι $\left( 3,2 \right)$ .

Ασκήσεις για γραφική επίλυση

1. Να λύσεις γραφικά σε χαρτί μιλιμετρέ: \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \] φτιάξε πίνακα τιμών για κάθε ευθεία, σχεδίασε και βρες το σημείο τομής.
2. Χωρίς να λύσεις αλγεβρικά, να εξηγήσεις αν το σύστημα \[ \begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \] έχει μία, καμία ή άπειρες λύσεις.

Για να λύσουμε ένα σύστημα χρησιμοποιούμε κυρίως δύο μεθόδους:

• Μέθοδος αντικατάστασης
• Μέθοδος αντιθέτων συντελεστών

Α. Μέθοδος αντικατάστασης

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.

Παράδειγμα 1

Λύσε το σύστημα: \[ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - 2y = -5 \end{cases} \]

Λύση:

Από την 1η εξίσωση: $x = 7 - y$. Το αντικαθιστώ στη 2η: \[ (7 - y) - 2y = -5 \Rightarrow 7 - 3y = -5 \Rightarrow -3y = -12 \Rightarrow y = 4. \] Τότε: \[ x = 7 - y = 7 - 4 = 3. \] Άρα λύση: $\left( x,y \right) = \left( 3,4 \right)$ .

Β. Μέθοδος αντιθέτων συντελεστών

Πολλαπλασιάζουμε κατάλληλα τις εξισώσεις ώστε να «εξαφανίσουμε» έναν άγνωστο όταν τις προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε.

Παράδειγμα 2

Λύσε το σύστημα: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} \]

Λύση:

Θέλουμε να απαλειφθεί π.χ. το $x$. Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με 3 και τη 2η με 2: \[ \begin{cases} 6x + 9y = 21 \\ 6x - 4y = 8 \end{cases} \] Αφαιρούμε κατά μέλη 1η - 2η: \[ (6x + 9y) - (6x - 4y) = 21 - 8 \Rightarrow 13y = 13 \Rightarrow y = 1. \] Βάζουμε το $y=1$ στην αρχική 1η εξίσωση: \[ 2x + 3\cdot 1 = 7 \Rightarrow 2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2. \] Άρα λύση: $\left( x,y \right) = \left( 2,1 \right)$ .

Γ. Πρόβλημα με λόγια

Σε μία τάξη, μαθητές και μαθήτριες είναι συνολικά 26 άτομα. Οι μαθήτριες είναι κατά 4 περισσότερες από τους μαθητές.

Αν x είναι οι μαθητές και y οι μαθήτριες: \[ \begin{cases} x + y = 26 \\ y = x + 4 \end{cases} \] Από τη 2η εξίσωση: $x + (x + 4) = 26 \Rightarrow 2x + 4 = 26 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11$. Άρα $y = x + 4 = 15$. Λύση: 11 μαθητές και 15 μαθήτριες.

Ασκήσεις

1. Να λύσεις με αντικατάσταση: \[ \begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + y = 9 \end{cases} \]
2. Να λύσεις με απαλοιφή: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 5x - 2y = 9 \end{cases} \]
3. Σε ένα κυλικείο πωλούνται τυρόπιτες και χυμοί. 4 τυρόπιτες και 2 χυμοί κοστίζουν 10€, ενώ 2 τυρόπιτες και 3 χυμοί κοστίζουν 9€. Αν η τιμή τυρόπιτας είναι x€ και η τιμή χυμού είναι y€, γράψε το σύστημα και βρες τις τιμές.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα, όταν μπορούν να ταυτιστούν πλήρως με μεταφορά/περιστροφή/ανάκλαση. Τότε έχουν ίσα αντίστοιχα πλευρά και ίσα αντίστοιχες γωνίες.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων (ενδεικτικά):

• Πλευρά–Γωνία–Πλευρά (ΠΓΠ): Αν δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ενός τριγώνου είναι ίσες με τα αντίστοιχα ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
• Γωνία–Πλευρά–Γωνία (ΓΠΓ): Αν μια πλευρά και οι προσκείμενες γωνίες της είναι ίσες με τα αντίστοιχα ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
• Πλευρά–Πλευρά–Πλευρά (ΠΠΠ): Αν και οι τρεις πλευρές είναι αντίστοιχα ίσες, τα τρίγωνα είναι ίσα.

Παράδειγμα:

Στα τρίγωνα $\triangle ABC$ και $\triangle A'B'C'$ είναι $ AB = A'B',\quad BC = B'C',\quad \angle B = \angle B'. $ Άρα, με το κριτήριο ΠΓΠ, τα τρίγωνα είναι ίσα.

Μικρές ασκήσεις

1. Στο τρίγωνο $\triangle ABC$ να δοθεί ένα άλλο τρίγωνο $\triangle A'B'C'$ ίσο με αυτό, χρησιμοποιώντας το κριτήριο ΠΓΠ.
2. Δίνονται δύο τρίγωνα με τρεις αντίστοιχες ίσες πλευρές. Να αιτιολογήσεις γιατί είναι ίσα.

Ο λόγος δύο τμημάτων $AB$ και $CD$ ορίζεται ως $ \dfrac{AB}{CD}. $ Λέμε ότι δύο ζεύγη τμημάτων είναι ανάλογα, όταν έχουν ίσους λόγους.

Παράδειγμα:

Αν $AB = 4\,\text{cm}$ και $CD = 10\,\text{cm}$, τότε $ \frac{AB}{CD} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. $

Ιδιότητες λόγων:

• Μπορούμε να απλοποιήσουμε τον λόγο όπως τα κλάσματα.
• Αν $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{GH}$, τότε τα ζεύγη είναι ανάλογα.

Μικρές ασκήσεις

1. Έστω $AB = 6\,\text{cm}$ και $CD = 9\,\text{cm}$. Να υπολογίσεις τον λόγο $\dfrac{AB}{CD}$ και να τον γράψεις σε απλή μορφή.
2. Αν $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{2}{3}$ και $AB = 8\,\text{cm}$, να βρεις το $CD$.

Το Θεώρημα του Θαλή εφαρμόζεται σε τρίγωνο, όταν μια ευθεία είναι παράλληλη σε μία πλευρά του και τέμνει τις άλλες δύο.

Διατύπωση (απλή):

Στο τρίγωνο $\triangle ABC$, έστω ευθεία παράλληλη στην $BC$ που τέμνει τις $AB$ και $AC$ στα σημεία $D$ και $E$ αντίστοιχα. Τότε:

$ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $

και επίσης

$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}. $

Παράδειγμα:

Στο τρίγωνο $\triangle ABC$ η ευθεία $DE$ είναι παράλληλη στην $BC$. Αν $AD = 3$ cm, $DB = 5$ cm και $AE = 4.5$ cm, να βρεις το $EC$.

Από το θεώρημα του Θαλή: $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{4.5}{EC}. $ Άρα: $ EC = \frac{4.5\cdot 5}{3} = 7.5\,\text{cm}. $

Μικρές ασκήσεις

1. Στο τρίγωνο $\triangle ABC$ η $DE \parallel BC$. Αν $AD = 2\,\text{cm}$, $DB = 6\,\text{cm}$ και $AE = 3\,\text{cm}$, να βρεις το $EC$.
2. Στο ίδιο σχήμα, αν $AB = 10\,\text{cm}$ και $AD = 4\,\text{cm}$, να βρεις τον λόγο $\dfrac{AE}{AC}$.

Η ομοιοθεσία είναι μετασχηματισμός επίπεδου με ένα σημείο $O \text{(κέντρο ομοιοθεσίας)}$ και έναν πραγματικό αριθμό $k$ $\text{ (λόγος ομοιοθεσίας).}$

Ορισμός:

Κάθε σημείο $A$ αντιστοιχίζεται σε σημείο $A'$ πάνω στην ευθεία $OA$, έτσι ώστε:

$ OA' = k \cdot OA. $

• Αν $k > 1$, το σχήμα «μεγεθύνεται».
• Αν $0 < k < 1$, το σχήμα «σμικρύνεται».
• Αν $k < 0$, το σημείο $A'$ βρίσκεται στην προέκταση της $OA$ προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ιδιότητες:

• Οι ευθείες $AA'$ όλων των σημείων διέρχονται από το $O$.
• Τα αντίστοιχα σχήματα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $|k|$.

Μικρές ασκήσεις

1. Έστω $OA = 5\,\text{cm}$ και $k = 2$. Να βρεις το $OA'$.
2. Έστω $OA = 3\,\text{cm}$ και $k = \dfrac{1}{2}$. Να βρεις το $OA'$ και να πεις αν το σχήμα μεγεθύνθηκε ή σμικρύνθηκε.

Δύο σχήματα λέγονται όμοια, όταν έχουν ίσες αντίστοιχες γωνίες και οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες.

Για τρίγωνα: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ σημαίνει:

• $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$
• $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k $ για κάποιον λόγο ομοιότητας $k$.

Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων ενδεικτικά:

• ΓΓ: Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με δύο γωνίες άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια.
• ΠΓΠ: Αν δύο πλευρές είναι ανάλογες και η περιεχόμενη γωνία ίση.
• ΠΠΠ: Αν όλες οι πλευρές είναι ανάλογες.

Παράδειγμα:

Σε δύο τρίγωνα γνωρίζουμε ότι $ \angle A = \angle A',\quad \angle B = \angle B'. $ Τότε, επειδή οι γωνίες τριγώνου έχουν άθροισμα $180^\circ$, θα είναι και $\angle C = \angle C'$ και τα τρίγωνα είναι όμοια $\text{(κριτήριο ΓΓ).$

Μικρές ασκήσεις

1. Δύο τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες. Να αποδείξεις ότι είναι όμοια.
2. Σε δύο όμοια τρίγωνα ο λόγος ομοιότητας είναι $k = 3$. Αν μια πλευρά του μικρού τριγώνου είναι 4 cm, πόσο είναι η αντίστοιχη του μεγάλου;

Αν δύο σχήματα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας k δηλαδή $(\frac{\text{πλευρά μεγάλου}}{\text{πλευρά μικρού}} = k), $ τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι:

$ \frac{E_1}{E_2} = k^2. $

Παράδειγμα:

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο πλευρών $\dfrac{3}{2}$. Τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι:

$ \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}. $

Μικρές ασκήσεις

1. Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο πλευρών $k = 4$. Αν το εμβαδόν του μικρού είναι $5\,\text{cm}^2$, να βρεις το εμβαδόν του μεγάλου.
2. Δύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν εμβαδά με λόγο $\dfrac{25}{9}$. Ποιος είναι ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών τους;

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία $\omega$:

\[ \text{ημ}\,\omega = \frac{\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}},\quad \text{συν}\,\omega = \frac{\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}},\quad \text{εφ}\,\omega = \frac{\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}. \]

Παράδειγμα 1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές:

• προσκείμενη = 3
• απέναντι = 4
• υποτείνουσα = 5

\[ \text{ημ}\,\omega = \frac{4}{5},\quad \text{συν}\,\omega = \frac{3}{5},\quad \text{εφ}\,\omega = \frac{4}{3}. \]

Παράδειγμα 2

\[ \text{ημ}\,30^\circ = \frac12,\quad \text{συν}\,30^\circ = \frac{\sqrt3}{2},\quad \text{εφ}\,30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Να βρεις τις τριγωνομετρικές τιμές γωνίας με αντίθετη πλευρά 5 και υποτείνουσα 13.
2. Συμπλήρωσε: \[ \text{ημ}\,45^\circ = \ ? ,\quad \text{συν}\,45^\circ =\ ? ,\quad \text{εφ}\,45^\circ =\ ? . \]

Επειδή $\alpha + (180^\circ-\alpha) = 180^\circ $, τότε:

\[ \text{ημ}(180^\circ - \alpha) = \text{ημ}\,\alpha \] \[ \text{συν}(180^\circ - \alpha) = -\text{συν}\,\alpha \] \[ \text{εφ}(180^\circ - \alpha) = -\text{εφ}\,\alpha \]

Παράδειγμα

\[ \text{ημ}\,150^\circ = \text{ημ}(180^\circ - 30^\circ) = \text{ημ}\,30^\circ = \frac12. \]

Μικρές ασκήσεις

1. Βρες το $\text{συν}\,150^\circ .$
2. Υπολόγισε $\text{ημ}\,120^\circ $ και $\text{συν}\,120^\circ .$

\[ (\text{ημ}\,\omega)^2 + (\text{συν}\,\omega)^2 = 1 \] \[ \text{εφ}\,\omega = \frac{\text{ημ}\,\omega}{\text{συν}\,\omega} \]

Παράδειγμα

Αν $\text{ημ}\,\omega = \frac{3}{5}$, τότε: $ (\text{συν}\,\omega)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\Rightarrow \text{συν}\,\omega = \frac45.$

$\text{εφ}\,\omega = \frac{\frac35}{\frac45} = \frac34.$

Μικρές ασκήσεις

1. Αν $\text{συν}\,\omega = \frac{5}{13}$, βρες $\text{ημ}\,\omega $ και $\text{εφ}\,\omega $.
2. Απόδειξε ότι $(\text{εφ}\,\omega)^2 + 1 = \frac{1}{(\text{συν}\,\omega)^2}.$