ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
3
ο
Γυμνάσιο Ν. Ιωνίας - Βόλου
Μακρή Βαρβάρα
Παράγοντες
Οιαριθμοίέχουνπαράγοντες:
Καιοιεκφράσειςόπως(x
2
+4x+3)έχουνεπίσηςπαράγοντες:
Ορισμός
Παραγοντοποίηση
είναι η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μια αλγεβρική
παράστασησεγινόμενο.
Παράδειγμα: 2y + 6
Το 2y και 6 έχουν έναν κοινό παράγοντα 2:
2y είναι 2 × y
6 είναι 2 × 3
Έτσι μπορούμε να μετατρέψουμε ολόκληρη την έκφραση σε:
2y + 6 = 2 (y + 3)
Ανάλυσησεγινόμενο
πρώτωνπαραγόντων
Όταν η παράσταση δεν επιδέχεται περαιτέρω
παραγοντοποίηση, θα λέμε ότι έχει αναλυθεί σε γινόμενο
πρώτωνπαραγόντων.
Παραδείγματα
Παράσταση
Μετατροπήσε
γινόμενο
ΠεραιτέρωΑνάλυση
6x
2
−12x
2(3x
2
−6x) Ναι.3x
2
−6x=3x(x-2)
6x
2
−12x
3x(2x-4) Ναι.2x–4=2(x-2)
6x
2
−12x
6(x
2
–2x) Ναι.x
2
–2x=x(x-2)
6x
2
−12x 6x(x-2)
Όχι, γινόμενο πρώτων
παραγόντων.
Βασικέςμέθοδοιπαραγοντοποίησης
ΚοινόςΠαράγοντας
Για να παραγοντοποιήσουμε μια παράσταση της οποίας οι όροι έχουν
κοινό παράγοντα, χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα για την
εξαγωγή του.
Παραδείγματα:
3α−5β+5γ=5α−5β+5γ=5(α−β+γ)
Σε όλους τους όρους της παράστασης κοινός παράγοντας το 5.
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι «Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 5».
12x
2
−8x
3
=4x
2
⋅3−4x
2
⋅2x=4x
2
(3−2x)
Σε όλους τους όρους της παράστασης κοινός παράγοντας το 4x
2
.
Βασικέςμέθοδοιπαραγοντοποίησης
ΚοινόςΠαράγονταςκατάομάδες(Ομαδοποίηση)
Για να παραγοντοποιήσουμε μια παράσταση με ομαδοποίηση:
Øόλοι οι όροι της παράστασης δεν πρέπει να έχουν κοινό
παράγοντα
Øμπορούμε να σχηματίσουμε ομάδες ώστε:
i. σε κάθε ομάδα που σχηματίζεται να υπάρχει κοινός
παράγοντας
ii. οι όροι που προκύπτουν, μετά την εξαγωγή του
κοινού παράγοντα της κάθε ομάδας, να έχουν πάλι
κοινό παράγοντα
ΚοινόςΠαράγονταςκατάομάδες
(Ομαδοποίηση)
Παράδειγμα:
αx+αy+βx+βy=
αx+αy+βx+βy=
α(x+y)+β(x+y)=
(x+y)(α+β)
Δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε
όλους τους όρους της παράστασης.
Βγάζουμε κοινό παράγοντα το α από
τους δύο πρώτους όρους της
παράστασης και το β από τους δύο
τελευταίους όρους της.
Σχηματίζονται δύο όροι με κοινό
παράγοντα το (x+y).
ΜέθοδοιΠαραγοντοποίησης
Διαφοράδύοτετραγώνων
Για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση που
είναι διαφορά δύο τετραγώνων, χρησιμοποιούμε την
ταυτότητα:
α
2
−β
2
=(α−β)(α+β)
Παραδείγματα:
x
2
−25=x
2
−5
2
=(x+5)(x−5)
(2x−1)
2
−y
2
=(2x−1+y)(2x−1−y)
ΜέθοδοιΠαραγοντοποίησης
Ανάπτυγματέλειουτετραγώνου
Για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση που
είναι ανάπτυγμα τέλειου τετραγώνου, χρησιμοποιούμε την
ταυτότητα:
α
2
+2αβ+β
2
=(α+β)
2
Παραδείγματα:
4α
2
+12α+9=
=(2α)2+2⋅2α⋅3+3
2
=(2α+3)
2
ΜέθοδοιΠαραγοντοποίησης
Ανάπτυγματέλειουτετραγώνου
Για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση που
είναι ανάπτυγμα τέλειου τετραγώνου, χρησιμοποιούμε την
ταυτότητα:
α
2
−2αβ+β
2
=(α−β)
2
Παραδείγματα:
x
2
−12xy+36y
2
=
=x
2
−2⋅x⋅6y+(6y)
2
=(x−6y)
2
ΜέθοδοιΠαραγοντοποίησης
(εκτόςδιδακτέαςύλης)
Διαφοράδύοκύβων
Για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση που
είναι διαφορά δύο κύβων, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
α
3
−β
3
=(α−β)(α
2
+αβ+β
2
)
Παράδειγμα:
x
3
−27=x
3
−3
3
=(x−3)(x
2
+3x+3
2
)
=(x−3)(x
2
+3x+9)
ΜέθοδοιΠαραγοντοποίησης
(εκτόςδιδακτέαςύλης)
Άθροισμαδύοκύβων
Για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση που
είναι άθροισμα δύο κύβων, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:
α
3
+β
3
=(α+β)(α
2
−αβ+β
2
)
Παράδειγμα:
8α
3
+β
3
=
=(2α)
3
+β
3
=(2α+β)[(2α)
2
−2αβ+β
2
]
=(2α+β)(4ᵄ
2
−2αβ+β
2
)
ΜέθοδοιΠαραγοντοποίησης
(εκτόςδιδακτέαςύλης)
Τριωνύμουτηςμορφήςx
2
+(α+β)x+αβ
Για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση που
είναι τριώνυμο της μορφής x
2
+(α+β)x+αβ ,
χρησιμοποιούμε το γινόμενο (x + α)(x + β)
x
2
+(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)
Απόδειξη
(x + α)(x + β) = x
2
+αx+βx+αβ = x
2
+(α+β)x+αβ
Παραδείγματα:
x
2
+8x+12=x
2
+(6+2)x+6·2=(x+6)(x+2)
