Από το βιβλίο "ΑΛΓΕΒΡΑ" της Β' Γενικού Λυκείου...

1.7 Επίλυση τριγώνου

Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομα της, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του.

Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βασικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και το άλλο ως νόμος των συνημίτονων .

Νόμος των ημίτονων

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω (0,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τη διάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ που είναι ορθογώνιο στο Γ. Επομένως έχουμε:

Είναι όμως Δ = Α (Σχ. 1) ή Δ + Α = 180^o (Σχ. 2), οπότε ημΔ = ημΑ. Επομένως η (1) γράφεται

Αν Α = 90^o, τότε έχουμε: ημΑ = 1 και α = 2R (Σχ. 3). Επομένως και στην περίπτωση αυτή ισχύει ισότητα $\frac{\mathrm{<mi>\; \alpha \; </mi>}}{\mathrm{\eta \mu {\rm A}}}=\mathrm{2R}$

Όμοια αποδεικνύεται ότι: $\frac{\mathrm{<mi>\beta </mi>}}{\mathrm{\eta \mu {\rm B}}}=\mathrm{2R}$ και $\frac{\mathrm{<mi>\gamma </mi>}}{\mathrm{\eta \mu \Gamma }}=\mathrm{2R}$

Επομένως: $\frac{\mathrm{<mi>\alpha </mi>}}{\mathrm{\eta \mu {\rm A}}}=\frac{\mathrm{<mi>\beta </mi>}}{\mathrm{\eta \mu {\rm B}}}=\frac{\mathrm{<mi>\gamma </mi>}}{\mathrm{\eta \mu \Gamma }}=\mathrm{2R}$

Σχόλιο. Με το νόμο των ημίτονων μπορούμε εύκολα να επιλύσουμε ένα τρίγωνο, όταν δίνονται:

1. Μια πλευρά και δυο γωνίες του ή
2. Δυο πλευρές και μια από τις μη περιεχόμενες γωνίες του.