ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΕΡΟΣ Α:

Α. 1. 2
1.      Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση;

u  Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση κάθε έκφραση που συνδυάζει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.

2.       Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης;

u  Ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης ο αριθμός που θα προκύψει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές της με αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις.

3.      Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ακέραια;

u  Μια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

4.      Τι ονομάζεται μονώνυμο και πια τα μέρη από τα οποία αποτελείται;

u  Ονομάζεται μονώνυμο μια αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ αριθμού και μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών.

u  Σε ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας που γράφεται πρώτος ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου,

u  ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου.

5.      Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια;

u  Ονομάζονται όμοια δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.

6.      Ποια μονώνυμα ονομάζονται ίσα και ποια αντίθετα;

u  Ονομάζονται ίσα δύο μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή και το ίδιο κύριο μέρος.

u  Ονομάζονται αντίθετα δύο μονώνυμα που έχουν αντίθετο συντελεστή και το ίδιο κύριο μέρος.

7.      Τι ονομάζεται βαθμός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή του;

u  Ονομάζεται βαθμός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή του ο εκθέτης της μεταβλητής αυτής.

8.      Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό μονώνυμο και ποιος ο βαθμός τους;

u  Ονομάζουμε σταθερό μονωνύμο κάθε αριθμό και μηδενικό μονώνυμο τον αριθμό 0.

u  Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βαθμό ενώ

u  Τα  σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού.

9.      Πως ορίζεται το άθροισμα ομοίων μονωνύμων;

u  Το   άθροισμα   ομοίων    μονωνύμων  είναι   ένα  μονώνυμο  όμοιο   με   αυτά   και  έχει  συντελεστή  το    άθροισμα   των συντελεστών τους.

10.  Τι ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων;

u  Ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων η πρόσθεση ομοίων μονωνύμων.

11.  Πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων;

u  Το γινόμενο  μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο

·         με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και

·         κύριο μέρος γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της.

Α. 1. 3

1.      Τι ονομάζεται πολυώνυμο;

u  Ονομάζεται πολυώνυμο ένα άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια.

2.      Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή του;

u  Ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή του ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του ως προς την μεταβλητή αυτή.

3.      Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο και ποιος ο βαθμός τους;

u  Ονομάζουμε σταθερό πολυώνυμο κάθε αριθμό και μηδενικό πολυώνυμο τον αριθμό 0.

u  Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό ενώ όλα τα άλλα σταθερά πολυώνυμα είναι μηδενικού βαθμού.

Α. 1. 4

1.      Πως πολλαπλασιάζουμε:

α. Μονώνυμο με πολυώνυμο ;

β. Πολυώνυμο με πολυώνυμο ;

Για να πολλαπλασιάσουμε:

α. Μονώνυμο  με  πολυώνυμο  πολλαπλασιάζουμε  το  μονώνυμο  με  κάθε  όρο  του πολυωνύμου και στη συνέχεια κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

β. Πολυώνυμο  με  πολυώνυμο  πολλαπλασιάζουμε    κάθε    όρο  του   ενός  πολυωνύμου   με   κάθε   όρο  του άλλου και  στη συνέχεια κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Α. 1. 5

1.      Τι ονομάζεται ταυτότητα;

u  Ονομάζεται  ταυτότητα  κάθε  ισότητα  που  περιέχει  μεταβλητές  και  επαληθεύεται  για  κάθε  τιμή  των μεταβλητών αυτών.

2.      Γνωστές ταυτότητες:

a.   (α +β)2 = α2 + 2αβ + β2

b.   (α -β)2 = α2 -2αβ + β2

c.    (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

d.   (α -β)3 = α3 -3α2β + 3αβ2 - β3   

e.    (α -β)(α + β) = α2 - β2

3.      Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

a.      (α +β)2 = α2 + 2αβ + β2

b.      (α -β)2 = α2 -2αβ + β2

c.        (α -β)(α + β) = α2 - β2

Απόδειξη

( α + β ) 2 = ( α + β )( α + β ) = α 2 + αβ + βα + β 2 = α 2 + 2αβ + β 2

( α -β ) 2 = ( α - β )  ( α - β ) = α 2-α·β - β-α + β 2 = α 2 -2αβ + β 2

( α - β ) ( α + β ) = α 2 - α β + β α - β 2

Α. 1. 6

1.      Τι ονομάζεται παραγοντοποίηση;

u  Ονομάζεται παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότερα μιας αλγεβρικής παράστασης η διαδικασία μετατροπής της παράστασης σε γινόμενο.

2.      Ποιες είναι οι χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης;
·     κοινός παράγοντας

Όταν όλοι οι όροι μιας παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα.

·     ομαδοποίηση

Όταν    όλοι   οι   όροι   του πολυωνύμου δεν  έχουν    κοινό  παράγοντα,  τους χωρίζουμε  σε ομάδες έτσι ώστε:

ü Κάθε ομάδα που δημιουργούμε να έχει κοινό παράγοντα,

ü Οι παραστάσεις που μένουν μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι ίδιες

·     διαφορά τετραγώνων

Η μέθοδος αυτή παραγοντοποίησης στηρίζεται στην ταυτότητα α2 -β2 = ( α + β)∙(α - β), στην οποία 

αν εναλλάξουμε τα μέλη μετατρέπουμε  μια διαφορά δύο τελείων τετραγώνων σε γινόμενο.

·     Ανάπτυγμα τετραγώνου

Αν το πολυώνυμο είναι τριώνυμο και έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή:

α2 + 2αβ + β2  ή  α2 -2αβ + β2,

τότε θα γίνει αντίστοιχα ( α + β )2  ή  ( α – β )2,

που είναι γινόμενα παραγόντων αφού : ( α + β )2 = (α + β)(α + β) και ( α – β )2 =(α – β)(α – β)

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο    Εξισώσεις Ανισώσεις

Α. 2. 2

1.      Τι ονομάζεται εξίσωση2ου βαθμού, με έναν άγνωστο ;

u  Ονομάζεται εξίσωση δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα της μορφής αx2 + βx + γ = 0     με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς και α ≠ 0. 

u  Οι αριθμοί α και β ονομάζονται συντελεστές του δευτεροβαθμίου και πρωτοβαθμίου όρου αντίστοιχα και ο αριθμός γ σταθερός όρος.

u  Επίλυση μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού λέγεται η διαδικασία εκείνη με την οποία βρίσκουμε   τις τιμές του x που την επαληθεύουν.

2.      Πότε μία εξίσωση δευτέρου βαθμού: 
α. έχει δύο άνισες ρίζες;                β. Έχει  μια  διπλή ρίζα;           γ. δεν έχει ρίζες;

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς, α ≠ 0 και διακρίνουσα Δ = β2 -4αγ:

 

α. έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο

όταν Δ > 0

β. έχει δύο ρίζες ίσες που δίνονται από τον τύπο

όταν Δ = 0

γ. δεν έχει ρίζες,

όταν Δ <0
3.      Πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο αx2+ βx + γ όταν η εξίσωση αx2 +βx + γ = 0 με  α ≠ 0 έχει λύσεις τις ρ1, ρ2

u  Αν  ρ1, ρ2 είναι λύσεις της εξίσωσης αx2 +βx + γ = 0 με  α ≠ 0 το τριώνυμο αx2+ βx + γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:                   

αx2+ βx + γ= α(x− ρ1)( x−ρ2)

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο    Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων

Α. 3. 1

1.      Τι ονομάζεται;

α. Γραμμική  εξίσωση με δύο αγνώστους x και y;

β. Λύση γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους x και y;

γ. Τί παριστάνει γραφικά η γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους x και y;

δ. Πότε ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία ε;

 

α.  Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους x, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ,    π.χ. 3x + 2y = 7.                        

β. Λύση της γραμμικής εξίσωσης αx + βy = γ ονομάζεται κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x, y) που την επαληθεύει.

Π.χ. το διατεταγμένο ζεύγος (1, 2) είναι λύση της εξίσωσης 3x + 2y = 7, αφού 3·1 + 2·2 = 7.

γ.  Η γραμμική εξίσωση της μορφής αx + βy = γ και παριστάνει ευθεία όταν   α ≠ 0 ή β ≠ 0.

εικόνα

1.      H εξίσωση y = k με k≠ 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0, k),

2.      Η εξίσωση y = 0 παριστάνει τον άξονα x΄x

3.    H εξίσωση x = k με k ≠ 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο (k, 0),

4.      Η εξίσωση x = 0 παριστάνει τον άξονα y΄y

5.    Η εξίσωση αx + βy = γ με α = β = 0   π.χ. 0x + 0y = 7 δεν παριστάνει ευθεία, αφού κανένα ζεύγος αριθμών (x, y) δεν είναι λύση της (αδύνατη εξίσωση).

δ. Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.

Π.χ. αν το σημείο Μ(3, 4) ανήκει στην ευθεία ε :αx - y = 0, τότε ισχύει 3·α - 4 = 0.

Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.

Π.χ. το σημείο Μ(0, -2) ανήκει στην ευθεία ε : 4x - 5y = 10, αφού 4·0 - 5·(-2) = 10.

Α. 3. 2

1.      Τι ονομάζεται;

α. Γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y;

β. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y;

γ. Επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y;

 

α. Γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ονομάζεται ένα σύστημα της μορφής,                                

α1x + β1y = γ1

α2x  +  β 2  y  =  γ 2        με ένα τουλάχιστον από τα α1, α2, α1, β1 ,β2 ≠  0.                        

 

β. Λύση του γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y ονομάζεται κάθε ζεύγος (x0, y0) που επαληθεύει τις εξισώσεις του.

 

γ. Επίλυση του γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y ονομάζεται η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε

κάθε ζεύγος (x0, y0) που επαληθεύει τις εξισώσεις του.

Γραφικά

Στο ίδιο σύστημα αξόνων παριστάνουμε τις εξισώσεις του συστήματος με δύο ευθείες ε1, ε2.

εικόνα

2.      Πως γίνεται η γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y και πότε αυτό έχει μία λύση, είναι αδύνατο, είναι αόριστο;

u  Για τη γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y

u σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες που παριστάνουν τις εξισώσεις του συστήματος και: