A

B

Ω

Tα σύνολα Α και Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Μπορείτε να μετακινείτε τα κόκκινα σημεία ή τα μπλε σημεία για αυξομείωση
των συνόλων Α , Β αντίστοιχα. Mετακινώντας τα σημεία αυτά , στον πίνακα  ''Μετρήσεις'' εμφανίζονται οι πιθανότητες των συνόλων Α, Β ,όπως
και οι πιθανότητες των συνόλων:   ι)  Α∪Β     ii) Α∩Β       iii) Β - Α = B∩A'      iv) A - B = Α∩Β'       v) Α΄         vi) Β'     vii) Α΄∪Β        viii) A∪Β'    

Θεωρητικό μέρος

Πρακτική εξάσκηση

Μετρήσεις

Α∪Β

A

B

A'

B'

Α∩Β 

B∩A'

Α∩Β'

Α΄∪Β

Α∪Β'

Σχέσεις συνόλων

Tα σύνολα είναι ξένα
     μεταξύ τους 

ΣτοιχείοΛίστας[]

Ερωτήματα

1. Aν Α⊆Β , τί σχέση έχουν οι αριθμοί  P(Α) και P(B);
2. Aν Α⊆Β , τί σχέση έχουν οι αριθμοί  P(Α) και P(Α∩Β );
3. Aν Α∩Β =∅  , τί σχέση έχουν οι αριθμοί  P(Α) + P(B) και P(Α∪Β)
4. Πότε ισχύει P(Α∩Β ) = P(Α∪Β);
5. Ποιος από τους αριθμούς P(B) , P(Α∪Β) είναι  ο μεγαλύτερος; Μπορεί να γίνουν ίσοι;

Aν απαντήσετε στα διπλανά ερωτήματα, κλείστε το θεω-
ρητικό μέρος και μεταβείτε στην ''Πρακτική Εξάσκηση''

Με την ''Πρακτική εξάσκηση''  μπορείτε:
1. Να ασχοληθείτε με την εφαρμογή 3 της παραγράφου 1.2
2. Να ασχοληθείτε με τις ασκήσεις 7,8,9,10,11 της Α ομάδας
    και τις ασκήσεις 3,4,5,6 της Β ομάδας

Ασκήσεις

1

2

3

4

Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A) = 0,6 και P(B) = 0,5 .
i) Να εξεταστεί αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.
ii) Να αποδείξετε ότι   0,1 ≤ P(Α∩Β) ≤ 0,5 .

Πατήστε  ''Μετρήσεις'' . Μετακινείστε τα κόκκινα και μπλε
σημεία , ώστε P(Α) = 0.6 και P(Β) = 0.5
Δείτε ποια είναι τα όρια μεταβολής του αριθμού P(A∩Β)

H παραπάνω άσκηση είναι η εφαρμογή  3 της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

P(A)\, =\,\frac{17}{30}\,=\,0.57\,\,\,\,\,\,\,\,P(B) \,=\,\,\frac{7}{15}\,=\,0.47\,\,και \,\,\,\,\,\,\,P(Α∪Β)\,=\,\frac{2}{3}\,=\,0.67

Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

Nα βρείτε την P(Α∩Β )

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 7 A΄ Ομάδαςτης παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

Σωστά\, !!!\,\,\, Η \,\,πραγματική\,\, τιμή\,\, είναι\, :\,\,\,\frac{11}{30}\,=\,\,\,0.3666...

P(A)\, =\,\frac{1}{2}\,=\,0.5\,\,\,\,\,\,\,\,P(Α∪Β) \,=\,\,\frac{5}{6}\,=\,0.8333...\,\,και \,\,\,\,\,\,\,P(Α∩Β )\,=\,\frac{1}{3}\,=\,0.333...

Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

Να βρείτε την P(Β)

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 8 A΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

Σωστά\, !!!\,\,\, Η \,\,πραγματική\,\, τιμή\,\, είναι\, :\,\,\,P(B)\,=\,\frac{2}{3}\,=\,\,\,0.6666..

Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

P(A)\, =\,0.5\,\,\,\,\,\,\,\,P(B' ) \,=\,\,\frac{2}{3}\,=\,0.6666...\,\,και \,\,\,\,\,\,\,P(Α∩Β )\,=\,\frac{1}{12}\,=\,0.08333...

Να βρείτε την P(Α∪Β)

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 10 A΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 11  A΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 9 A΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

Σωστά\, !!!\,\,\, Η \,\,πραγματική\,\, τιμή\,\, είναι\, :\,\,\,P(B)\,=\,\frac{3}{4}\,=\,\,\,0.75

Σωστά\, !!!\,\,\, Η \,\,πραγματική\,\, τιμή\,\, είναι\, :\,\,\,P(B)\,=\,\frac{4}{10}\,=\,\,\,0.4

Σωστά\, !!!\,\,\, Η \,\,πραγματική\,\, τιμή\,\, είναι\, :\,\,\,P(A)\,=\,\frac{3}{7}\,≅\,\,\,0.428

Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

Για δύο  ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι:

P(A)\, =P(B),\,\,\,\,\,\,\,P(Α∪Β) \,=\,0.6\,\,\,\,\,και \,\,\,\,\,\,\,P(Α∩Β )\,=\,0.2

Να βρείτε την P(A)

5

6

7

8

9

10

P(Α∪Β) ≤ P(A) + P(B)

Βοήθεια

Σε ποια περίπτωση ισχύει ως ισότητα η παραπάνω σχέση;

Για δύο  ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι:

P(B) - P(A' ) ≤ P(Α∩Β) 

Σε ποια περίπτωση ισχύει ως ισότητα η παραπάνω σχέση;

Aν  0 < P(Α) < 1  , να αποδείξετε ότι:

\frac{1}{P(A}\,\,+\,\,\frac{1}{P(A' }\,≥ \,4

Aν\,\,\frac{P(Α)}{P(A' }\,\,=\,\,\frac{3}{4 }\,= \,0.75\,,\,\,να\,\,βρείτε\,\,τις\,\,πιθανότητες\,\,P(A)\,\,και\,\,P(A' )

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με 
P(A) = 0.6  και P(B) = 0.7  , να δείξετε  ότι
                     0.3 ≤  P(Α∩Β)  ≤ 0.6
Πότε ισχύουν οι ισότητες στην παραπάνω σχέση;

 P(Α∩Β)

Οι τιμές των πιθανοτήτων μπορεί να αποκλίνουν κατά 1 χιλιοστό λόγω της στρογγυλοποίησης

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 6  B΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 4  B΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 3  B΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

H άσκηση αυτή είναι η άσκηση 5  B΄ Ομάδας της παραγρ.3.2 του βιβλίου σας

Κανόνες

Λογισμού

Πιθανότητες

A = (-4.17578125, -1.82390625)
a = 8.4 (slider from 1 to 10, step 0.1)
B: A + (a, 0)
b = 4.25 (slider from 1 to 6, step 0.1)
D: B + (0, b)
C: A + (0, b)
pol = Segment(C, D)
E = Point(pol)
i = Segment(C, E)
G = Point(i)
F = Point(pol)
j = Segment(D, F)
H = Point(j)
pt5 = If(x(F) ≤ x(H) ∧ x(H) ≤ x(G) ∧ x(G) ≤ x(E), 0, 100)
pt1 = If(x(G) ≤ x(F) ∧ x(F) ≤ x(E) ∧ x(E) ≤ x(H), Distance[F, E], 100)
pt2 = If(x(H) ≥ x(G) ∧ x(G) ≥ x(F) ∧ x(E) ≥ x(H), Distance[G, H], 100)
pt3 = If(x(G) ≤ x(F) ∧ x(F) ≤ x(H) ∧ x(H) ≤ x(E), Distance[F, H], 100)
pt4 = If(x(F) ≤ x(G) ∧ x(G) ≤ x(E) ∧ x(E) ≤ x(H), Distance[G, E], 100)
pt6 = If(x(G) ≤ x(E) ∧ x(E) ≤ x(F) ∧ x(F) ≤ x(H), 0, 100)
tomh = KeepIf(x < 100, RemoveUndefined[{pt1, pt2, pt3, pt4, pt5, pt6}])
pt = Element(tomh, 1)
f = Segment(D, B)
g = Segment(B, A)
h = Segment(A, C)
I: G - (0, b)
J: E - (0, b)
K: F - (0, b)
L: H - (0, b)
k = Segment(G, I)
l = Segment(J, E)
m = Segment(K, F)
n = Segment(L, H)
pA = Segment(G, E)
pB = Segment(F, H)
πολύγ.2, g_1, e_1, j_1, i_1 = Polygon(G, E, J, I)
πολύγ.3, f_1, h_1, l_1, k_1 = Polygon(F, H, L, K)
pa: pA / pol
pb: pB / pol
κείμενο3: "P(A) = " + pa
ptom: pt / pol
κείμενο4: "P(B) = " + pb
pen: pa + pb - ptom
p = Segment(G, J)
O = Midpoint(p)
q = Segment(K, H)
R_1 = Midpoint(q)
M: F + (0, 0.2)
N: H + (0, 0.2)
P: I - (0, 0.2)
Q: J - (0, 0.2)
S: (M + N) / 2 - (0.2, 0)
T: (M + N) / 2 + (0.2, 0)
U: (P + Q) / 2 - (0.2, 0)
V: (P + Q) / 2 + (0.2, 0)
u = Vector(M, S)
v = Vector(N, T)
w = Vector(P, U)
z = Vector(Q, V)
κείμενο5: "P(Α∩Β) = " + ptom
W = (-4.22546875, 5.902500000000001)
Z = (18.23328125, 4.2628125)
πολύγ.1 = Τετράπλευρογιακείμενο(W, Z)
c = false
d = false
o = false
C_1 = (4.445, -1.8984375)
D_1: C_1 + (5, 0)
F_1: D_1 + (0.041, 0)
H_1 = (14.55640625, -1.92328125)
κείμενο7: "P(A' ) = " + (1 - pa)
κείμενο8: "P(B' ) = " + (1 - pb)
κείμενο13: "P(Α∩Β' ) = " + (pa - ptom)
κείμενο23: "P(Α'∩Β) = " + (pb - ptom)
κείμενο24: "P(Α΄∪Β) = " + (1 + ptom - pa)
κείμενο25: "P(Α∪Β' ) = " + (1 + ptom - pb)
s = false
κείμενο26 = If(ptom ≟ 0, "Α∩Β =∅", If[ptom > 0, "Α∩Β ≠∅"])
κείμενο27 = If(ptom > 0, "Τα σύνολα τέμνονται")
A3 = Element(tomh, 1)
κείμενο30 = If(pa ≟ 0, "A = ∅")
κείμενο31 = If(pb ≟ 0, "B = ∅")
κείμενο32 = If(pa ≟ ptom ∧ pb ≟ ptom, "A = B")
t = false
K_1 = (-4.27453125, -3.2129687500000004)
L_1 = (9.388906250000002, -5.8734375000000005)
πολύγ.4 = Τετράπλευρογιακείμενο(K_1, L_1)
a_1 = false
b_1 = false
c_1 = false
d_1 = false
m_1 = false
n_1 = true
M_1 = (-4.22, -3.1784375000000007)
N_1 = (8.519375, -5.3765625)
πολύγ.5 = Τετράπλευρογιακείμενο(M_1, N_1)
o_1 = false
p_1 = false
q_1 = false
r_1 = false
s_1 = false
t_1 = false
u_1 = false
κείμενο66: "P(A) + P(B) = " + pa + " + " + pb + " = " + (pa + pb)
O_1 = (9.657656249999999, -3.12875)
P_1 = (16.2209375, -5.475937500000001)
πολύγ.6 = Τετράπλευρογιακείμενο(O_1, P_1)
κείμενο65: "P(Α∪Β)  = " + pen
κείμενο71: "P(B) - P(A' ) = " + pb + " - " + (1 - pa) + " = " + (pb - 1 + pa)
κείμενο72: "P(Α∩Β) = " + ptom
κείμενο76: "P(A) = " + pa
κείμενο77: "P(A' ) = " + (1 - pa)
κείμενο75: "\frac{1}{P(A}\,\,+\,\,\frac{1}{P(A' }\,=\,\frac{1}{" + pa + "}\,+\,\frac{1}{" + (1 - pa) + "}\,=\," + (pa + 1 / (1 - pa)) + "\,≥\,4"
κείμενο79: "P(A) = " + pa
κείμενο80: "P(A' ) = " + (1 - pa)
κείμενο81: "\frac{P(Α)}{P(A' }\,\,=\,\frac{" + pa + "}{" + (1 - pa) + "}\,=\," + (pa / (1 - pa))
Q_1 = (10.010000000000002, -4.30828125)
S_1: Q_1 + (5, 0)
a_2 = Segment(Q_1, S_1)
κείμενο86: ptom + ""
κείμενο83: pa + pb - 1 + ""
κείμενο84: Min[{pa, pb}] + ""
T_1: Q_1 + ((ptom - pa - pb + 1) / (Min[{pa, pb}] - pa - pb + 1) * (S_1 - Q_1))
κείμενο28 = If(pa ≟ ptom, "A⊆B", If[pb ≟ ptom, "B⊆A", If[abs(pa - ptom) ≤ 0.01 ∧ abs(pb - ptom) ≤ 0.01 ∧ x(G) - x(F) < 0.007, "A = B"]])
G_1: F_1 + (5, 0)
E_1: C_1 + (0, 4.34)
R: F_1 + (0, 4.34)
I_1: H_1 + (3.6, 0)
J_1: H_1 + (0, 4.34)
κείμενο6: "P(Α∪Β) = " + pen
Α = (23.6740625, -7.6174687500000005)
Β = (27.1521875, -7.6174687500000005)

Tool: Τετράπλευρο για κείμενο (command Τετράπλευρογιακείμενο)
Σημείο , Σημείο
Input: A, B
Output: πολύγ1

a = OrthogonalLine(A, yAxis)
b = OrthogonalLine(A, a)
c = OrthogonalLine(B, a)
d = OrthogonalLine(B, b)
C = Intersect(b, d)
D = Intersect(c, a)
πολύγ1, a_1, d_1, b_1, c_1 = Polygon(A, D, B, C)