Στην οθόνη δεξιά βλέπετε έναν κύκλο, μια διάμετρό του ΑΒ, Ε, Ζ
δύο σημεία στην διάμετρό του και Γ, Δ δυο σημεία στην περιφέρεια 
του κύκλου. Να συγκρίνετε τα γινόμενα: 	                        

A.

Β.

Βοήθεια

Να μετακινήσετε τα σημεία Γ και Δ στην περιφέρεια του κύκλου 
και να διερευνήσετε τι διατηρείται σταθερό και τι αλλάζει στα 
τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΔΒ. Ειδικότερα:
α) Ποιά η σχέση των τμημάτων ΑΕ και ΑΖ με τις χορδές ΑΓ και ΑΔ
    καθώς τα σημεία Γ, Δ κινούνται στην περιφέρεια του κύκλου; 
β) Πώς μεταβάλλονται τα γινόμενα ΑΖ·$ΑΓ^2$ και ΑΕ·$ΑΔ^2$ καθώς
    τα σημεία Γ και Δ κινούνται στην περιφέρεια του κύκλου; Να
    διατυπώσετε μια εικασία. 

Να αποδείξετε ότι τα γινόμενα $ΑΖ·ΑΓ^{2}$ και $ΑΕ·ΑΔ^{2}$ είναι ίσα.

Στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΕ και ΑΔΖ να εκφράσετε το λόγο
$\frac{ΑΓ^{2}}{ΑΔ^{2}}$ συναρτήσει των προβολών των χορδών ΑΓ και ΑΔ 
στη διάμετρο του κύκλου.

Προβολές χορδών στη διάμετρο του κύκλου

Επίπεδα Διαπραγμάτευσης

Βοήθεια

α) Με τη βοήθεια του εργαλείου 'Γωνία' στην εργαλειοθήκη να 
    μετρήσετε τις γωνίες $\widehat{AΓB}$, $\widehat{AΔB}$, $\widehat{ΑΕΓ}$ και $\widehat{ΑΖΔ} $ και να 
    παρατηρήσετε πώς μεταβάλλονται καθώς τα σημεία Γ, Δ κινούνται 
    στην περιφέρεια του κύκλου.
β) Με τη βοήθεια του εργαλείου 'Απόσταση ή Μήκος', να μετρήσετε 
    τα μήκη των ΑΖ, ΑΓ, ΑΕ, και ΑΔ και να υπολογίσετε τα γινόμενα: 
    $ΑΖ·ΑΓ^{2}$ και $ΑΕ.ΑΔ^{2}$ καθώς τα σημεία Γ, Δ αλλάζουν θέση.
     Τι παρατηρείτε; 

 $ΑΖ·ΑΓ^{2}$ και  $ΑΕ.ΑΔ^{2}$

Προβολές 

χορδών 

στη διάμετρο 

του κύκλου

Α_2 = (-2, 5)
Β_2 = (-2, 3)
Γ_1 = (0, 3)
Δ_1 = (1, 3)
Ζ_1 = (4, 3)
Θ = (-2, 4)
Ι = (-2, 3)
Κ_1 = (-1, 3)
Λ_1 = (6, 4)
Μ = (6, 3)
Ν = (7, 3)
Ξ = (5, 4)
Ο_1 = (5, 3)
Ρ = (6, 3)
Π = (5, 4)
Σ = (5, 3)
Τ = (6, 3)
Ε_2 = (-5, 1)
Η = (-4, 1)
a = Segment(Ε_2, Η)
Υ = (-1, 1)
b = Segment(Η, Υ)
c = Semicircle(Ε_2, Υ)
d = OrthogonalLine(Η, a)
Φ = Intersect(c, d, 1)
Φ' = Rotate(Φ, 270°, Η)
Η' = Rotate(Η, 270°, Η)
Χ = (-1.18, 1.5)
Ψ = (-0.18, 1.5)
e = Segment(Χ, Ψ)
f = Circle(Φ', e)
Ω = (0.54, 1.16)
g = Line(Η', Φ')
Α_1, Β_1 = Intersect(f, g)
Α_3 = (2.2, 1.96)
Α = (0, 0)
Β = (5, 0)
h = Segment(Α, Β)
Ο = Midpoint(Α, Β)
k = Circle(Ο, Β)
Γ = Point(k)
i = Segment(Γ, Α)
j = Segment(Γ, Β)
l = OrthogonalLine(Γ, h)
Ε = Intersect(h, l)
Δ = Point(k)
m = Segment(Δ, Α)
n = Segment(Ε, Γ)
p = OrthogonalLine(Δ, h)
Ζ = Intersect(h, p)
q = Segment(Ζ, Δ)
r = Segment(Α, Ε)
s = Segment(Α, Ζ)
β = If(y(Δ) > 0, Angle[Δ, Ζ, Α], Angle[Α, Ζ, Δ])
α = If(y(Γ) > 0, Angle[Γ, Ε, Α], Angle[Α, Ε, Γ])
t = Segment(Δ, Β)
o: false
u = false
v = false
ε = If(y(Γ) > 0, Angle[Α, Γ, Β], Angle[Β, Γ, Α])
γ = If(y(Δ) > 0, Angle[Α, Δ, Β], Angle[Β, Δ, Α])
κείμενο9: "ΑΔ^{2}=" + (LaTeX[m]) + "^{2}"
κείμενο6: "AZ=" + (LaTeX[s]) + ""
κείμενο7: "ΑΓ^{2}=" + (LaTeX[i]) + "^{2}"
κείμενο8: "ΑΕ=" + (LaTeX[r]) + ""
Κ = (-2.4812614037863225, 5.25103601750778)
Λ = (2.1141734957548852, 5.25103601750778)
a_1 = Segment(Κ, Λ)
w = false
Ε_1 = (11.58, -6.256)
Η_1 = (14.38, -6.256)