Author: Σούφαρη Αθανασία-Ψυχάρης Γιώργος
Date: 22 Μάρτιος 2013

Αν E_α, Ε_β, Ε_γ είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων 
που έχουν πλευρές ίσες αντίστοιχα με τις πλευρές 
α, β, γ ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ (∡A =90°) , 
να αποδείξετε ότι Ε_β+ Ε_γ = Ε_α.

Απόκρυψη εκφώνησης

Δραστηριότητα

Διερεύνηση

Με πλευρές ίσες προς τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ 
έχουμε κατασκευάσει κανονικά ν-γωνα.
Μπορείτε να μεταβάλλετε το τρίγωνο ΑΒΓ μετακινώντας
τις τρεις κορυφές του.
☛ Για ν=4, να εξετάσετε αν σε οποιοδήποτε ορθογώνιο 
    τρίγωνο ΑΒΓισχύει η σχέση Ε_α=Ε_β+Ε_γ.
    Ποιο γνωστό σας θεώρημα προκύπτει;
☛ Να δώσετε στο ν διάφορες τιμές.
    Ισχύει η ίδια σχέση για τα  εμβαδά των τριών
    κανονικών ν-γώνων σε κάθε περίπτωση;
☛ Να αποδείξετε γιατί ισχύει για κάθε τιμή του 
     ν η σχέση αυτή.

α

β

γ

Βοήθεια

                          Σκεφτείτε ότι τα κανονικά πολύγωνα αφού 
                          έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών θα είναι όμοια.
$\fgcolor{0000ff}{ΣΥΡΕ \; ΜΕ}$     Άρα ο λόγος των εμβαδών τους θα ισούται
                          με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.
                          $\frac{Ε_β}{Ε_α}=\frac{β^2}{α^2}, \;  \; \frac{Ε_γ}{Ε_α}=\frac{γ^2}{α^2}, \;  \;\frac{Ε_β+Ε_γ}{Ε_α}=...... $

Για α=60° και ν=3:
☛ Σε οποιοδήποτε τρίγωνο ΑΒΓ με ∡Α=60°,
διερευνήστε αν τα εμβαδά των τριών 
ισόπλευρων τριγώνων και του τριγώνου 
ΑΒΓ συνδέονται με κάποια σχέση.
☛ Να αποδείξετε τη σχέση αυτή.
☛ Διερευνήστε αν ισχύει κάποια σχέση ανάμεσα
στα εμβαδά των ισόπλευρων τριγώνων και του ΑΒΓ
όταν ∡Α=120°, ∡Α=30° ή για κάποια άλλη τιμή 
της γωνίας Α.

1) Όταν ∡Α=60°, παρατηρήστε ότι Ε_β+Ε_γ-Ε_α=Ε_{ΑΒΓ}
2) Όταν ∡Α=120°, παρατηρήστε ότι Ε_α-Ε_β-Ε_γ=Ε_{ΑΒΓ}
3) Όταν ∡Α=30°, παρατηρήστε ότι Ε_β+Ε_γ-Ε_α=3·Ε_{ΑΒΓ}

ΑΡΧΗ

  Επέκταση ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ 

Θεωρήματος  από τετράγωνα 

      σε κανονικά πολύγωνα

a: true
α: 90°
Α: (9, -1)
Γ: (12, -1)
c = Segment(Α, Γ)
Β' = Rotate(Γ, α, Α)
α_2 = Angle(Γ, Α, Β')
d = Ray(Α, Β')
Β = Point(d)
e = Segment(Β, Γ)
f = Segment(Β, Α)
ν: 4
πολύγ2, g, h, i, j, k, l, m, p, q, r, s, t, a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1, g_1, h_1, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ, Σ, Τ, Υ, Φ = Polygon(Γ, Α, ν)
πολύγ1, i_1, j_1, k_1, l_1, m_1, n_1, p_1, q_1, r_1, s_1, t_1, a_2, b_2, c_2, d_2, e_2, f_2, g_2, h_2, i_2, Χ, Ψ, Ω, Α_1, Β_1, Γ_1, Δ_1, Ε_1, Ζ_1, Η_1, Θ_1, Ι_1, Κ_1, Λ_1, Μ_1, Ν_1, Ξ_1, Ο_1 = Polygon(Β, Γ, ν)
πολύγ3, j_2, k_2, l_2, m_2, n_2, p_2, q_2, r_2, s_2, t_2, a_3, b_3, c_3, d_3, e_3, f_3, g_3, h_3, i_3, j_3, Π_1, Ρ_1, Σ_1, Τ_1, Υ_1, Φ_1, Χ_1, Ψ_1, Ω_1, Α_2, Β_2, Γ_2, Δ_2, Ε_2, Ζ_2, Η_2, Θ_2, Ι_2 = Polygon(Α, Β, ν)
Ε_α = Area(πολύγ1)
Ε_β = Area(πολύγ2)
Ε_γ = Area(πολύγ3)
κείμενο2: "Ε_β+Ε_γ=" + Ε_β + "+" + Ε_γ + "=" + (Ε_β + Ε_γ) + ""
κείμενο3: "Ε_α=" + Ε_α + ""
πολύγ4, β_1, α_1, γ = Polygon(Α, Γ, Β)
Ε_{ΑΒΓ} = Area(πολύγ4)
κείμενο5: "Ε_{ΑΒΓ}=" + Ε_{ΑΒΓ} + ""
o: false
b: false
Κ_2 = Centroid(πολύγ1)
Λ_2 = Centroid(πολύγ2)
Μ_2 = Centroid(πολύγ3)
Ν_2 = Centroid(πολύγ4)
κείμενο6: "Ε_α=" + Ε_α + ""
κείμενο7: "Ε_β=" + Ε_β + ""
κείμενο8: "Ε_γ=" + Ε_γ + ""
κείμενο9: "Ε=" + Ε_{ΑΒΓ} + ""
Ξ_2 = Midpoint(c)
Ο_2 = Midpoint(e)
Π_2 = Midpoint(f)
n: false
κείμενο4: "Ε_β+Ε_γ=" + Ε_β + "+" + Ε_γ + "=" + (Ε_β + Ε_γ) + ""
κείμενο16: "Ε_α=" + Ε_α + ""
Ρ_2 = (19.8, -6.788)
Σ_2 = (23.8, -6.78)