Date: 22 Μάρτιος 2013

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90°). Με διαμέτρους 
ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ γράφουμε ημικύκλια στο ημιεπίπεδο (ΒΓ,Α). 
Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των σχηματιζόμενων 
μηνίσκων είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Απόκρυψη εκφώνησης

Δραστηριότητα 1

Δραστηριότητα 2

Έστω μ_1, μ_2 τα εμβαδά των σχηματιζόμενων
μηνίσκων  και τ_1,τ_2 τα εμβαδά των κυκλικών
τμημάτων με χορδές ΑΒ και ΑΓ.
Σύρετε τα σημεία Α ή Γ και παρατηρήστε
σε κάθε θέση τους τις τιμές των εμβαδών
των δυο μπλε μηνίσκων μ_1 και μ_2 καθώς
και του τριγώνου ΑΒΓ που δίνει το λογισμικό.
☛ Ποια η σχέση τους;
☛ Να αποδείξετε στο τετράδιό σας τη σχέση αυτή.

Βοήθεια

μ_1=(μ_1+τ_1)-τ_1=Ε_{ημ. ΑΒ}-τ_1= $\frac{1}{2}π\left(  \frac{AΒ}{2} \right)^2-τ_1=\frac{1}{8}π\cdot{ΑΒ^2}-τ_1 $

☛ Πότε οι δυο μηνίσκοι μ_1 και μ_2 έχουν ίσα εμβαδά;
☛ Μπορείτε να τετραγωνίσετε το άθροισμα μ_1+μ_2
    στην περίπτωση αυτή;
    (Δηλαδή να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο που να 
    έχει ίσο εμβαδό με το άθροισμα των δυο μηνίσκων)

☛ Παρατηρήστε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

Τετραγωνισμός

☛ Επειδή μ_1 + μ_2=(ΑΒΓ) και κάθε τρίγωνο τετραγωνίζεται, 
προκύπτει ότι το άθροισμα μ_1 + μ_2 τετραγωνίζεται. 
Οι μηνίσκοι αυτοί αποτελούν το πρώτο μη ευθύγραμμο σχήμα, 
το οποίο τετραγωνίσθηκε από τον Ιπποκράτη τον Χίο 
(γεννήθηκε περί το 470 π.Χ.). 
☛ Σύρετε τα σημεία Α ή Γ και παρατηρήστε ότι
το τετράγωνο ΒΕΖΗ είναι ο τετραγωνισμός των
δυο μηνίσκων.
Πως θα το κατασκευάσετε με κανόνα και διαβήτη;

ΑΡΧΗ

μ_1

μ_2

τ_1

τ_2

μ_2=(μ_2+τ_2)-τ_2=Ε_{ημ. ΑΓ}-τ_2= $\frac{1}{2}π\left(  \frac{AΓ}{2} \right)^2-τ_2=\frac{1}{8}π\cdot{ΑΓ^2}-τ_2 $

μ_1+μ_2=$\frac{1}{8}π\left(ΑΒ^2+ΑΓ^2   \right)-(τ_1+τ_2).... $

Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και 
αποδείξτε ότι μ_1+μ_2=(ΑΒΓ)

☛(ΒΔΖΕ)=ΒΔ^2=ΒΔ\cdot{ΑΔ}=\frac{ΒΓ}{2}\cdot{ΑΔ}=.....

Η ΒΕ είναι η πλευρά του τετραγώνου και
είναι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου 
ΘΕΓ, όπου ΒΘ=ΑΚ/2.

Μηνίσκοι 

    του

Ιπποκράτη

(Μηνίσκος είναι το σχήμα που «περικλείεται» από δύο τόξα 
που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της). 

Β: (8, -1)
Σ: Β + (1, 0)
t = Ray(Β, Σ)
Γ = Point(t)
q = Semicircle(Β, Γ)
Α = Point(q)
a = true
b = Segment(Α, Β)
u = UnitOrthogonalVector(b)
Γ_1: Α + u
c = Ray(Α, Γ_1)
l: false
m: false
o: false
v: false
d = OrthogonalLine(Α, b)
e = Segment(Γ, Β)
f = Segment(Α, Γ)
α = Angle(Β, Α, Γ)
h = Semicircle(Β, Α)
p = Semicircle(Α, Γ)
πολύγ1, γ, β, α_1 = Polygon(Β, Α, Γ)
Δ_1 = Midpoint(e)
r = CircleArc(Δ_1, Α, Β)
s = CircleArc(Δ_1, Γ, Α)
Ε_1 = Centroid(πολύγ1)
E_{ΑΒΓ} = Area(πολύγ1)
κείμενο3: "E=" + E_{ΑΒΓ} + ""
Ζ = Point(p)
Δ_2 = Point(h)
Ε = Point(r)
Η_1 = Point(s)
τ_1 = Area(r)
E_{ημ. ΑΒ} = Area(h)
E_{ημ. ΑΓ} = Area(p)
τ_2 = Area(s)
Θ_1 = Midpoint(b)
Ι = Midpoint(f)
g = OrthogonalLine(Θ_1, b)
n = OrthogonalLine(Ι, f)
Κ_1 = Intersect(h, g, 1)
Λ = Intersect(p, n, 1)
Μ, Τ = Intersect(r, g)
Ν = Intersect(s, n, 1)
Ξ = Midpoint(Θ_1, Μ)
Ο = Midpoint(Ι, Ν)
Ρ = Midpoint(Ν, Λ)
Π = Midpoint(Μ, Κ_1)
μ_1: E_{ημ. ΑΒ} - τ_1
μ_2: E_{ημ. ΑΓ} - τ_2
κείμενο10: "μ_1=" + μ_1 + ""
κείμενο11: "μ_2=" + μ_2 + ""
κείμενο18: "E_{ΑΒΓ}=" + E_{ΑΒΓ} + ""
κείμενο19: "μ_1+μ_2=" + μ_1 + "+" + μ_2 + "=" + (μ_1 + μ_2) + ""
a_1 = OrthogonalLine(Α, e)
Δ = Intersect(a_1, e)
b_1 = Segment(Α, Δ)
ΒΔ = Distance(Β, Δ)
ΔΓ = Distance(Δ, Γ)
w: ΒΔ ≟ ΔΓ
c_1 = Segment(Α, Β)
d_1 = Segment(Α, Γ)
e_1 = Ray(Δ, Β)
f_1 = Circle(Β, b_1 / 2)
Θ = Intersect(f_1, e_1, 2)
g_1 = Semicircle(Γ, Θ)
h_1 = OrthogonalLine(Β, e_1)
E = Intersect(g_1, h_1, 1)
πολύγ2, i_1, j_1, k_1, l_1, Z, H = Polygon(Β, E, 4)
Φ = Centroid(πολύγ2)
z = Area(πολύγ2)
κείμενο13: "" + z + ""
Χ: Β + (2, 0)
p_1 = OrthogonalLine(Χ, l_1)
Α_2 = Intersect(r, p_1, 1)
i = Segment(Θ, Β)
j = Segment(Θ, E)
k = Segment(E, Γ)
m_1 = OrthogonalLine(Α, l_1)
Κ = Intersect(m_1, l_1)
n_1 = Segment(Α, Κ)
Η = (19.556, -6.336)
Υ = (23.82, -6.3)