Θεώρημα του Θαλή
Author: ΑΡΔΑΒΑΝΗ ΚΑΛΛΙΟΠΗ
Date: 10 Αύγουστος 2013

ΔΕΙΞΕ ΤΙΣ ΚΑΘΕΤΕΣ

ξ

ε

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ

Αν δύο ασύμβατες ευθείες ε και ξ τέμνουν 
τρία παράλληλα επίπεδα στα σημεία Α, Α΄,
Α'' και Β, Β΄, Β΄΄  αντίστοιχα τότε ισχύει

\frac{ΑΑ΄}{Α΄Α΄΄ }=\frac{ΒΒ΄}{Β΄Β΄΄}

ευθεία ΑΒ''

Πρόσεξε είναι τώρα ασύμβατες οι
ευθείες ε και ξ;

Εμφάνισε την ευθεία ΑΒ''.
Εμφάνισε τα τμήματα που ορίζονται πάνω
στα παράλληλα επίπεδα από τα σημεία 
τομής των ε, ξ, ΑΒ'' με τα επίπεδα π, π', π''

και παρατήρησε τις επιφάνειες που ορίζουν
τα τρίγωνα ΑΒΒ΄΄,  ΑΑ΄΄Β΄΄

Εμφάνισε τα τμήματα

Προσπάθησε να εφαρμόσεις τις τεχνικές
που εφάρμοζες στο επίπεδο. Εφάρμοσε
το Θεώρημα του Θαλή στα παραπάνω 
τρίγωνα για τις Α΄Λ //Α''Β'', που τέμνονται
από τις ΑΑ΄΄ και ΑΒ΄΄ καθώς και τις ΑΒ// ΛΒ', 
που τέμνονται από τις ΑΒ΄΄ και  ΒΒ΄΄.

Απόδειξη

Βοήθεια

π

π΄

π''

Μπορείς να αλλάξεις την οτπική θέαση του 
σχήματος με τους μεταβολείς α, β και c.

f = 3.3 (slider from 0 to 5, step 0.1)
c = -0.4 (slider from -1 to b, step 0.1)
b = 5 (slider from -1 to 5, step 0.1)
a = 3.5 (slider from 0 to 5, step 0.1)
zoom = 0.9 (slider from 0.2 to 5, step 0.1)
α: 20°
β: 15°
u: (zoom * (cos(β), ((-sin(α)) * sin(β))))
w: (zoom * (0, cos(α)))
v: (zoom * ((-sin(β)), ((-sin(α)) * cos(β))))
B1: a
A3: f
B5: a
C5: c
C7: c
B3: (-a)
A5: (-f)
A7: (-f)
B7: (-a)
ΑΑ = (2.1064187758432142, 0.47601747131730543)
C1: c
A1: f
D1: ΑΑ + (A1 * u) + (B1 * v) + (C1 * w)
C2 = -1
A2: f
B2: a
D2: ΑΑ + (A2 * u) + (B2 * v) + (C2 * w)
C3: c
D3: ΑΑ + (A3 * u) + (B3 * v) + (C3 * w)
C4 = -1
A4: f
B4: (-a)
D4: ΑΑ + (A4 * u) + (B4 * v) + (C4 * w)
D5: ΑΑ + (A5 * u) + (B5 * v) + (C5 * w)
C6 = -1
A6: (-f)
B6: a
D6: ΑΑ + (A6 * u) + (B6 * v) + (C6 * w)
D7: ΑΑ + (A7 * u) + (B7 * v) + (C7 * w)
C8 = -1
A8: (-f)
B8: (-a)
D8: ΑΑ + (A8 * u) + (B8 * v) + (C8 * w)
A9: f
B9: a
A10: f
A11: (-f)
A12: (-f)
B10: (-a)
C11: b
B11: a
C12: b
B12: (-a)
C9: b
D9: ΑΑ + (A9 * u) + (B9 * v) + (C9 * w)
D11: ΑΑ + (A11 * u) + (B11 * v) + (C11 * w)
D12: ΑΑ + (A12 * u) + (B12 * v) + (C12 * w)
C10: b
D10: ΑΑ + (A10 * u) + (B10 * v) + (C10 * w)
πολύγ1, d12, d11, d9, d10 = Polygon(D12, D11, D9, D10)
πολύγ2, d7, d5, d1, d3 = Polygon(D7, D5, D1, D3)
πολύγ3, d8, d6, d2, d4 = Polygon(D8, D6, D2, D4)
B13: a
A13: f
C13 = -4
D13: ΑΑ + (A13 * u) + (B13 * v) + (C13 * w)
A14: f
B14: (-a)
C14 = -4
A15: (-f)
B15: (-a)
C15 = -4
C16 = -4
A16: (-f)
B16: a
D14: ΑΑ + (A14 * u) + (B14 * v) + (C14 * w)
D15: ΑΑ + (A15 * u) + (B15 * v) + (C15 * w)
D16: ΑΑ + (A16 * u) + (B16 * v) + (C16 * w)
πολύγ4, d15, d14, d13, d16 = Polygon(D15, D14, D13, D16)
D16' = Translate(D16, Vector[(0, 0)])
Θ = Intersect(d4, d3)
A = PointIn(πολύγ1)
A'' = PointIn(πολύγ4)
e = Segment(A, A'')
B = PointIn(πολύγ1)
g = Segment(A, B)
h = Line(A'', g)
i = Line(B, e)
Ε = Intersect(h, i)
d = Segment(B, Ε)
z = Vector(D11, A)
D6' = Translate(D6, Vector[(0, 0)])
D16'' = Translate(D16', z)
D5' = Translate(D5, z)
D6'' = Translate(D6', z)
l = Vector(D16'', A'')
m = Line(D6'', l)
p = Line(D5', l)
A' = Intersect(p, e)
Ι = Intersect(m, e)
k = Vector(D10, B)
D3' = Translate(D3, k)
D4' = Translate(D4, k)
D14' = Translate(D14, k)
B'' = PointIn(πολύγ4)
j = Vector(D14', B'')
n = Line(D4', j)
q = Line(D3', n)
r = Segment(B, B'')
B' = Intersect(q, r)
Κ = Intersect(n, r)
s = Segment(Ι, A'')
t = Segment(D6'', D16'')
a_1 = Segment(D5', D6'')
b_1 = Segment(A', Ι)
c_1 = Segment(A, A')
d_1 = Segment(A, D5')
e_1 = Segment(B, D3')
f_1 = Segment(D3', D4')
g_1 = Segment(D4', D14')
h_1 = Segment(B, B')
i_1 = Segment(B', Κ)
j_1 = Segment(Κ, B'')
k_1 = Segment(A, B'')
u_1 = Vector(D16'', B'')
D6''' = Translate(D6'', u_1)
D5'' = Translate(D5', u_1)
l_1 = Segment(D5', D5'')
m_1 = Segment(D6'', D6''')
Λ = Intersect(k_1, l_1)
Ν = Intersect(k_1, m_1)
q_1 = Segment(Λ, B')
o = false
n_1 = Segment(A', Λ)
s_1 = Segment(A, Λ)
t_1 = Segment(Λ, Ν)
a_2 = Segment(Ν, B'')
p_1 = Segment(A'', B'')
r_1 = Ray(B', B)
b_2 = Ray(A', A)
o_1: false
v_1: false
w_1 = false
z_1: false
u_2 = Vector(D11, D10)
v_2 = Vector(D12, D9)
D12' = Translate(D12, Vector[(1.1 * v_2)])
D12'' = Translate(D12', Vector[(0, 0)])
D12'_1 = Translate(D12, Vector[(-0.1 * v_2)])
D15' = Translate(D15, Vector[(-0.1 * v_2)])
D16'_1 = Translate(D15, Vector[(1.1 * v_2)])
D11' = Translate(D11, Vector[(-0.1 * u_2)])
D11'_1 = Translate(D11, Vector[(1.1 * u_2)])
D16'_2 = Translate(D16, Vector[(-0.1 * u_2)])
D16'_3 = Translate(D16, Vector[(1.1 * u_2)])
πολύγ5, d12'_1, d11', d12', d11'_1 = Polygon(D12'_1, D11', D12', D11'_1)
πολύγ6, d15', d16'_2, d16'_1, d16'_3 = Polygon(D15', D16'_2, D16'_1, D16'_3)
γ = Angle(D12'', D11', D12'_1)
δ = Angle(D1, D5, D7)
ε = Angle(D16'_1, D16'_2, D15')
c_2 = Line(A, B'')
d_2 = Ray(A', A'')
e_2 = Ray(B', B'')
Α = (13.092345838916414, -6.480902172268912)
Β = (17.446676838858878, -6.4308523906603785)