Date: 23 Απρίλιος 2013

Τα Μαθηματικά της Ομορφιάς
         [Αριθμοί Fibonacci]

Δεξιά στο λογιστικό φύλλο δίνονται οι 20 πρώτοι 
όροι της ακολουθίας των αριθμών Fibonacci 
            1, 1, 2, 3, 5,  8, 13, 21, 34, 55 ...


κι ένας δρομέας n με τους όρους της ακολουθίας.

1.

2.

A. Να βρείτε τον αναδρομικό της τύπο. 
B. Να συμπληρώσετε τη στήλη Β με το
     πηλίκο: $\frac{α_{n}}{α_{n-1}}$. Τι παρατηρείτε;

an

an/an-1

Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την ακολουθία 
των αριθμών Fibonacci με το χρυσό ορθογώνιο. 
Στη συνέχεια, να τους μοντελοποιήσετε με τη 
βοήθεια του εργαλείου Τετράγωνο. Τι παρατηρείτε;

Βοήθεια

Μοντελοποίηση

Α. Πώς σχετίζονται οι όροι της ακολουθίας
με τα μήκη των πλευρών των διαδοχικών 
τετραγώνων που σχηματίζουν τα διαδοχικά
χρυσά ορθογώνια;
Β. Ποιόν αριθμό προσεγγίζουν τα πηλίκα 
των όρων καθώς αυτοί αυξάνονται ;

Υπόδειξη

Η διάταξη απο τετράγωνα με πλευρές τους αριθμούς 
Fibonacci συμμετέχουν, με αντίστροφη πορεία, 
στη διάταξη των χρυσών ορθογωνίων. 

3.

Να κατασκευάσετε τη χρυσή σπείρα μέσα 
στα τετράγωνα Fibonacci. 

Αριθμοί Fibonacci

Ασχολήθηκε με αυτούς ο Λεονάρδος της Πίζας, 
γνωστότερος ως Fibonacci, ένας 
απο τους πιο διάσημους 
μαθηματικούς του Μεσαίωνα. 
Συνδέονται άμεσα με τον αριθμό φ,
γεγονός που δικαιολογεί και την άμεση σύνδεσή
τους με τη φύση. Είναι το Αριθμητικό Σύστημα της
Φύσης. Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία
Fibonacci, απλά μεγαλώνουν όσο πιο ωφέλιμα
μπορούν. Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός 
λουλουδιού, θα διαπιστώσει  ότι ο αριθμός τους
είναι συχνά 3, 5, 8, 13, 21, 34 ή ακόμα και 55. 
Σπάνια θα βρούμε λουλούδι με δύο πέταλα. 
Ειδικότερα, η ακολουθία εμφανίζεται στη διάταξη
των πετάλων της μαργαρίτας, του ηλιοτρόπιου, 
στο φλοιό του ανανά, στο κέλυφος του ναυτίλου
και του σαλιγκαριού.

Να εγγράψετε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα 
Fibonacci.

Βοήθεια

13 πέταλα

21 πέταλα

34 πέταλα

Βοήθεια

Α. Ενδεικτικά παρατίθενται κάποιοι όροι:
          $2^{2}$=4=1.3 +1       $3^{2}$=9=2.5-1
          $5^{2}$=25=3.8+1      $8^{2}$=5.13 -1
Μπορείτε να βγάλετε ένα γενικό κανόνα για τους 
όρους της ακολουθίας;
Β. Στο λογιστικό φύλλο να πληκτρολογήστε στο κελί C_3 το 
πηλίκο 3/2 κι enter. Στο επόμενο κελί C_4 πληκτρολογήσετε 
5/3 κι enter κλπ. Τι παρατηρείτε να συμβαίνει απο το λόγο
α_{11}/α_{10}  και μετά;

a_1

a_2

a_3

a_4

a_5

a_6

a_7

a_8

a_9

a_{10}

a_{11}

a_{12}

a_{13}

a_{14}

a_{15}

a_{16}

a_{17}

a_{18}

a_{19}

a_{20}

Με τη βοήθεια μιας διάταξης απο τετράγωνα
με πλευρές τους όρους της ακολουθίας
έχουμε τη γεωμετρική
απεικόνιση των όρων 
της ακολουθίας
Fibonacci:

Αριθμοί 

    του

 Fibonacci.

B2 = 1
B3 = 1
B4: B2 + B3
B5: B3 + B4
B6: B4 + B5
B7: B5 + B6
B8: B6 + B7
B9: B7 + B8
B10: B8 + B9
B11: B9 + B10
B12: B10 + B11
B13: B11 + B12
B14: B12 + B13
B15: B13 + B14
B16: B14 + B15
B17: B15 + B16
B18: B16 + B17
B19: B17 + B18
B20: B18 + B19
B21: B19 + B20
n = 10 (slider from 1 to 20, step 1)
λίστα1: {B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, B10, B11, B12, B13, B14, B15, B16, B17, B18, B19, B20, B21}
a = false
c = false
b = false
d = false
e = false
f = false
g = false
h = false
κείμενο1: "a_{" + (LaTeX[n]) + "}=" + (LaTeX[Element[λίστα1, n]]) + ""
i = false
Α = (45.27818181818182, -24.52)
Β = (57.06, -24.37454545454545)

Tool: Τετράγωνο
Επέλεξε Μήκος Πλευράς-Σημείο
Input: a, Α
Output: πολύγ1, α, ε, ζ, η

c = Circle(Α, a)
Β = Point(c)
b = Segment(Α, Β)
Γ = Point(c)
d = Segment(Α, Γ)
e = OrthogonalLine(Β, b)
f = OrthogonalLine(Γ, d)
Δ = Intersect(e, f)
g = Segment(Β, Δ)
h = Segment(Δ, Γ)
Ε = Intersect(b, g)
Ζ = Intersect(g, h)
Η = Intersect(d, h)
πολύγ1, α, ε, ζ, η = Polygon(Α, Ε, Ζ, Η)