Ο λαγός και η αλεπού
Date: 20 Μάρτιος 2013

x_1

x_2

f(x_2)

f(x_1)

a≠1

f($ \frac{x_1+x_2}{2} $)

$ \frac{f(x_1)}{2}+\frac{f(x_2)}{2} $

\frac{x_1+x_2}{2}

Ο ¨λαγός¨ και η ¨αλεπού¨

                           ΤΟ ΣΤΟΙΧΗΜΑ
Θα συναγωνιστούν κινούμενοι στο μονοπάτι από το νότο
προς τον βορρά ακολουθώντας το καθένα μια από τις
τεταγμένες των παρακάτω σημείων:

     (0,   f(${  \frac{x_1+x_2}{2}}$) ,    (0,  ${\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$)

Η ¨αλεπού¨ μπορεί να επιλέξει σε ποιο από τα δύο σημεία
θα κινηθεί. Μπορείς να τη βοηθήσεις την επιλογή της
ώστε να προπορεύεται πάντα από τον λαγό; 

Εμφάνισε τις επιλογές της αλεπούς και κάνε κλικ
στο κουμπί  με το σημείο που επιλέγεις να κινηθεί.
Ο ¨λαγός¨ θα κινηθεί στην άλλη επιλογή.


ΠΡΟΣΕΞΕ ΕΠΙΛΕΓΕΙΣ ΜΟΝΟ ΜΙΑ ΦΟΡΑ

Μετά κίνησε τα αυτοκίνητα και κάνε έλεγχο για
να διαπιστώσεις αν κέρδισε η αλεπού.
Εξέτασε αν αυτό συμβαίνει για όλες τις τιμές του α.
                 

2η επιλογή αλεπούς

1η επιλογή αλεπούς

(0,  $ \frac{f(x_1)}{2}+\frac{f(x_2)}{2} $)

(0,   f($ \frac{x_1+x_2}{2} $))

             Δεν έκανες κλικ στο κουμπί            
             με το σημείο που επιλέγεις
             να κινηθεί η αλεπού


                         ΞΑΝΑΓΥΡΙΣΕ ΠΙΣΩ
                          
   
  
   

ΔΕΙΞΕ ΕΠΙΛΟΓΕΣ  ΑΛΕΠΟΥΣ

 Αν ${f(x)= a^{x}}$ (0<a ≠1) και ${  x_1≠x_2}$,         

    να αποδείξεις ότι

  ${  \frac{f(x_1+x_2)}{2}}$ <  ${\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$
  
  

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

Μία ¨αλεπού¨ και ένας ¨λαγός¨ κάθονται στη 
διασταύρωση  του ποταμού με το μονοπάτι 
και αγναντεύουν τα κινητά που κινούνται στον 
αυτοκινητόδρομο.
Πολλές φορές παίζουν με τα αυτοκίνητα τρέχοντας
στο μονοπάτι έτσι ώστε και τα δύο τους να κινούνται 
ταυτόχρονα με το κινητό, πάνω στη προβολή (0, f(x_1))
του αυτοκινήτου στο μονοπάτι.
Αυτή τη στιγμή παρακολουθούν δύο αυτοκίνητα 
Α (x_2, f(x_2)) και Β(x_1, f(x_1)) (το Α προπορεύεται)
που έρχονται από τα δυτικά.
Σήμερα βάζουν το εξής στοίχημα:

Ο λαγός 

     και

 η αλεπού

a = 2 (slider from 0.1 to 5, step 0.1)
Α_1 = Point(xAxis)
Θ: Α_1 + (0.1, 0)
Η = Point(xAxis)
f(x) = a^(x)
b = OrthogonalLine(Α_1, xAxis)
k = Segment(Θ, Η)
Δ = Point(k)
c = OrthogonalLine(Δ, xAxis)
Β = Intersect(f, b, (-6, 0.015625))
Α = Intersect(f, c, (-5, 0.03125))
d = OrthogonalLine(Β, yAxis)
e = OrthogonalLine(Α, yAxis)
Ε = Intersect(yAxis, e)
Ζ = Intersect(d, yAxis)
g = Segment(Β, Α_1)
h = Segment(Β, Ζ)
i = Segment(Α, Δ)
j = Segment(Α, Ε)
Ι = Midpoint(Α_1, Δ)
l = OrthogonalLine(Ι, xAxis)
Κ = Intersect(f, l, (-5.5, 0.02209708691207961))
m = OrthogonalLine(Κ, yAxis)
Λ = Intersect(yAxis, m)
n = Segment(Κ, Ι)
p = Segment(Κ, Λ)
Μ: (0, (y(Ζ) + y(Ε)) / 2)
q = OrthogonalLine(Μ, yAxis)
Ν = Intersect(f, q, (-5.41503749964636, 0.0234375))
r = OrthogonalLine(Ν, xAxis)
Ξ = Intersect(r, xAxis)
s = Segment(Μ, Ν)
t = Segment(Ν, Ξ)
b_1 = Segment(Α_1, Δ)
c_1 = Tangent(Α, f)
d_1 = Tangent(Β, f)
aktina = 0.5 (slider from 0.2 to 1, step 0.1)
e_1 = Circle(Β, aktina)
f_1 = Circle(Α, aktina)
Γ, Ο = Intersect(e_1, d_1)
Π, Ρ = Intersect(f_1, c_1)
Γ_1 = Point(yAxis)
Δ_1 = Point(yAxis)
k_1 = Circle(Γ_1, aktina / 2)
p_1 = Circle(Δ_1, aktina / 2)
Ε_1, Ζ_1 = Intersect(k_1, yAxis)
Η_1, Θ_1 = Intersect(p_1, yAxis)
Τ = Point(yAxis)
h_1 = Circle(Τ, aktina / 2)
Χ, Ψ = Intersect(h_1, yAxis)
Σ = Point(yAxis)
g_1 = Circle(Σ, aktina / 2)
Υ, Φ = Intersect(g_1, yAxis)
i_1: false
pyxida = 2.5 (slider from -5 to 5, step 0.1)
Ω = (3, 6)
Β_1 = Point(Circle[Ω, pyxida])
j_1 = Segment(Ω, Β_1)
dromea = 2 (slider from 0 to 4, step 1)
v = false
a_1 = Segment(Μ, Λ)
κείμενο7: "Η κόκκινη γραμμή που βλέπεις είναι η γραφική
παράσταση της συνάρτησης ${f(x)= " + (LaTeX[a]) + "^{x} }$και παριστάνει    
έναν αυτοκινητόδρομο μονής κατεύθυνσης, από
δυτικά προς τα βοριοανατολικά. Η οριζόντια είναι
ένα ποτάμι και η κατακόρυφη ένα μονοπάτι στους
αγρούς. 
Καθένα κινητό που κινείται στον αυτοκινητόδρομο 
έχει  προβολές χ_1 στο ποτάμι και f(χ_1)  στο μονοπάτι."
Ι_1 = (9.4, -2.64)
Κ_1 = (12.2, -2.64)