A=(x,y)

Εκφώνηση

Δραστηριότητα 1

Δραστηριότητα 2

Βοήθεια

Σβήσε Ίχνη

κέντρο κύκλου:

ακτίνα:

Σύρε με

Το σημείο Μ έχει τετμημένη  x=b+aσυνt και  τεταγμένη 
y=c+aημt, όπου a,b,c πραγματικοί αριθμοί. 
Μεταβάλλοντας τους δρομείς a,b,c μεταβάλλονται 
οι συντεταγμένες του Μ. 
☛ Για a=3, b=2, c=1:
Με δεξί κλικ ενεργοποιήστε το ίχνος του Μ και κατόπιν 
σύρετε τον δρομέα t και παρατηρήστε ότι το ίχνος του 
σημείου M ,για  0°≤t≤360°, διαγράφει έναν κύκλο.
☛ Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου αυτού και
ποια η ακτίνα του; Να γράψετε στα αντίστοιχα κουτιά 
εισαγωγής τις απαντήσεις σας.
☛ Να μεταβάλετε τους δρομείς a,b,c και να 
επαναλάβετε τα προηγούμενα. 
Μπορείτε να διατυπώσετε μια εικασία για το που 
ανήκουν τα σημεία Μ(x,y) με x=b+aσυνt και y=c+aημt;

Βοήθεια

Γενικά, αν Μ(x,y) τα σημεία του επιπέδου
με x=b+aσυνt και y=c+aημt, ανήκουν
σε κύκλο με κέντρο Κ(b,c) και ακτίνα |a|.

ΑΡΧΗ

καθαρισμός κουτιών

Γεωμετρικός τόπος 

σημείου με συντεταγμένες

 τριγωνομετρικούς αριθμούς

b = 1 (slider from -5 to 5, step 1)
c = 3 (slider from -5 to 5, step 1)
f = false
q = false
i = NaN
K = If(f ∧ q, (b, c), (x(Β), y(Β)))
a = 2 (slider from -5 to 5, step 0.1)
t = 0 rad (slider from 0 to 6.283185307179586, step 0.017453292519943295)
Μ: ((a * cos(t)) + b, (a * sin(t)) + c)
g = Line(K, Μ)
u = UnitVector(g)
Γ = Intersect(xAxis, yAxis)
d = false
e = false
h = false
K': (b, c)
κείμενο2: "A=(" + (If[a ≠ 0 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ -1, "" + ((a * "συνt")), If[a ≟ -1, "-συνt", If[a ≟ 0, "", If[a ≟ -1, "-συνt"]]]]) + "" + (If[b > 0 ∧ a ≠ 0, ("+" * "") + b, If[b < 0 ∨ b > 0 ∧ a ≟ 0, "" + b, If[b ≟ 0 ∧ a ≠ 0, "", If[b ≟ 0 ∧ a ≟ 0, "0"]]]]) + "," + (If[a ≠ 0 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ -1, "" + ((a * "ημt")), If[a ≟ -1, "-ημt", If[a ≟ 0, "", If[a ≟ -1, "-ημt"]]]]) + "" + (If[c > 0 ∧ a ≠ 0, ("+" * "") + c, If[c < 0 ∨ c > 0 ∧ a ≟ 0, "" + c, If[c ≟ 0 ∧ a ≠ 0, "", If[c ≟ 0 ∧ a ≟ 0, "0"]]]]) + ")"
κείμενο7: "" + (If[b > 0 ∧ a ≠ 0, "" + b, If[b < 0 ∧ a ≟ 0 ∨ b > 0 ∧ a ≟ 0, "" + b, If[b ≟ 0 ∧ a ≠ 0, "", If[b ≟ 0 ∧ a ≟ 0, "0"]]]]) + "" + (If[a > 0 ∧ a ≠ 1, ("+" * "") + ((a * "συνt")), If[a < 0 ∧ a ≠ -1, "" + ((a * "συνt")), If[a ≟ -1, "-συνt", If[a ≟ 1, "+συνt", If[a ≟ 0, ""]]]]]) + ""
κείμενο8: "" + (If[c > 0 ∧ a ≠ 0, "" + c, If[c < 0 ∨ c > 0 ∧ a ≟ 0, "" + c, If[c ≟ 0 ∧ a ≠ 0, "", If[c ≟ 0 ∧ a ≟ 0, "0"]]]]) + "" + (If[a > 0 ∧ a ≠ 1, ("+" * "") + ((a * "ημt")), If[a < 0 ∧ a ≠ -1, "" + ((a * "ημt")), If[a ≟ -1, "-ημt", If[a ≟ 0, "", If[a ≟ 1, "+ημt"]]]]]) + ""
Εισ1 = Textfield(Β)
Εισ2 = Textfield(i)
j = Defined(Β)
k = Defined(i)
Δ = If(f ∧ q, K + (a, 0), K + (u * i))
l = Segment(K, Δ)
Ε = (2, -1)
γτ1 = Locus(Μ, t)
m:=x(Β) = b
n:=y(Β) = c
o:=x(Β) = b
p:=y(Β) = c
κείμενο1: "Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) του επιπέδου 
με x= " + κείμενο7 + ", y=" + κείμενο8 + " βρίσκονται σε κύκλο 
κέντρου Κ(" + b + "," + c + ") και ακτίνας ρ = " + a + "."
κείμενο5: "M(\fgcolor{0000CC}{" + (LaTeX[x]) + "},\fgcolor{006600}{" + (LaTeX[y]) + "})"
κείμενο6: "Το σημείο M έχει τετμημένη x= " + κείμενο7 + " και
τεταγμένη y= " + κείμενο8 + ".
Σύρετε τον δρομέα t και παρατηρήστε ότι
το ίχνος του σημείου M ,για  0°≤t≤360°,
διαγράφει έναν κύκλο.
☛ Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου αυτού και
ποια η ακτίνα του;
Να γράψετε τις απαντήσεις σας στα αντίστοιχα 
κουτιά εισαγωγής.
☛ Να αποδείξετε και αλγεβρικά ότι τα σημεία
Μ(x,y) ανήκουν στον κύκλο αυτό."
κείμενο9: "Αρκεί να αποδείξουμε ότι η απόσταση 
του M(x,y) από το κέντρο Κ(" + (LaTeX[b]) + "," + (LaTeX[c]) + ") ισούται με 2.
$(ΚM)=\sqrt{(x-" + (LaTeX[b]) + ")^2+(y-" + (LaTeX[c]) + ")^2}=\\
=\sqrt{(" + (LaTeX[κείμενο7]) + "- " + (LaTeX[b]) + ")^2+((" + (LaTeX[κείμενο8]) + "- " + (LaTeX[c]) + ")^2}=\\
=\sqrt{4συν^2t+4ημ^2t}=\\
=\sqrt{4(συν^2t+ημ^2t)}=2$"
r = Segment(K, Μ)
s: (a * cos(t)) + b
v: (a * sin(t)) + c
κείμενο4: "y=" + κείμενο8 + "
y=" + (If[c > 0 ∧ a ≠ 0, "" + c, If[c < 0 ∧ a ≟ 0 ∨ c > 0 ∧ a ≟ 0, "" + c, If[c ≟ 0 ∧ a ≠ 0, "" + a, If[c ≟ 0 ∧ a ≟ 0, "0"]]]]) + "" + (If[a > 0 ∧ a ≠ 1, ("+" * "") + (((a * "ημ") * "")) + t, If[a < 0 ∧ a ≠ -1, "" + (((a * "ημ") * "")) + t, If[a ≟ -1, ("-ημ" * "") + t, If[a ≟ 0, "", If[a ≟ 1, ("+ημ" * "") + t]]]]]) + "" + (If[a ≟ 0, "", ("=" * "") + v]) + ""
κείμενο3: "x=" + κείμενο7 + "
x=" + (If[b > 0 ∧ a ≠ 0, "" + b, If[b < 0 ∧ a ≟ 0 ∨ b > 0 ∧ a ≟ 0, "" + b, If[b ≟ 0 ∧ a ≠ 0, "" + a, If[b ≟ 0 ∧ a ≟ 0, "0"]]]]) + "" + (If[a > 0 ∧ a ≠ 1, ("+" * "") + (((a * "συν") * "")) + t, If[a < 0 ∧ a ≠ -1, "" + (((a * "συν") * "")) + t, If[a ≟ -1, ("-συν" * "") + t, If[a ≟ 0, "", If[a ≟ 1, ("+συν" * "") + t]]]]]) + "" + (If[a ≟ 0, "", ("=" * "") + s]) + ""
κείμενο10 = If(j ∧ k ∧ i ≟ abs(a) ∧ Β ≟ K', "Μπράβο!", "Παρατήρησε το σχήμα...")
Α = (10.572, -6.0135)
Ζ = (13.372, -6.0135)