Date: 23 Μάρτιος 2013

Δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος (Ο,1) 
και το τόξο ΑΜ (0≤ΑΜ<2π).

Δραστηριότητες

1η

2η

1

α) Μετακινείστε το σημείο Μ και 
παρατηρήστε την τιμή του 
ημ²ω+συν²ω.Τι παρατηρείτε;

β) Αποδείξτε την σχέση που 
παρατηρήσατε στο προηγούμενο 
ερώτημα

?

?

?

?

?

Προσέξτε, η γωνία Α$\hat{\Omicron}Μ'$ έχει αρνητική φορά.

ημ²ω+συν²ω=

Βοήθεια

Εφαρμόστε το πυθαγόρειο θεώρημα στο 
τρίγωνο ΟΒΜ

IxI=IσυνωΙ

IψI=IημωΙ

α) Μετακινείστε το σημείο Μ και 
παρατηρήστε την τιμή του εφω·σφω.
Τι παρατηρείτε;

β) Αποδείξτε την σχέση που 
παρατηρήσατε στο προηγούμενο 
ερώτημα

Βοήθεια

Στη σχέση εφω·σφω αντικαταστήστε τους 
δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς ως προς 
ημω και συνω και κάντε τις πράξεις.

Βασικές 

Τριγωνομετρικές 

Ταυτότητες

Ο_1 = Intersect(xAxis, yAxis)
Α = (1, 0)
ΚεΔιαν = (-3.8938554216867467, -2.190228690228691)
a: false
b = false
ΜονΚυκλ = Circle(Ο_1, 1)
Ακτ = 1 (slider from -5 to 5, step 0.1)
Β = (0, 1)
i = OrthogonalLine(Β, yAxis)
ΑρΑρ = 6
ΑρΔιασΟριζ = 13
ΝουμΑρχ = -18.84955592153876
ΑρΔιασΚατ = 6
ΑρΝουμΑρχΚατ = -3
Ο = Intersect(xAxis, yAxis)
Γ = (-1, 0)
k = CircleArc(Α, Γ, Ο)
p = CircleArc(Ο, Α, Β)
Μ = Point(ΜονΚυκλ)
j = Segment(Ο, Μ)
Δ = Point(p)
q = CircleArc(Ο, Δ, Μ)
ω = Angle(Δ, Ο, Μ)
Ο' = Mirror(Ο, xAxis)
n_2, B, s = Συν(Μ, Ο)
b_1, Ι, c_1 = Ημιτ(Μ, Ο)
f_1, h_1, Λ, i_1 = Εφαπτ(Δ, Μ, Ο)
m_1, Ξ, n_1 = Συνεφαπτομένη(Μ, Ο, Β)
r_1 = OrthogonalLine(Δ, xAxis)
s_1 = OrthogonalLine(Β, yAxis)
κείμενο5: "" + (y(Ι)) + ""
κείμενο9: "" + (x(B)) + ""
κείμενο11: "" + (y(Λ)) + ""
κείμενο13: "" + (y(Λ)) + ""
κείμενο15: "" + (x(Ξ)) + ""
κείμενο16: "" + (x(Ξ)) + ""
t_1 = OrthogonalLine(Μ, xAxis)
Ε = Intersect(t_1, xAxis)
a_2 = Segment(Μ, Ε)
α = Angle(Μ, Ε, Ο)
κείμενο3: "" + (x(Ξ)) + ""
κείμενο4: "" + (y(Λ)) + ""
κείμενο10: "ημ²ω+συν²ω=(" + (y(Ι)) + ")²+(" + (x(B)) + ")²=" + ((y(Ι))^(2)) + "+" + ((x(B))^(2)) + "=" + ((y(Ι))^(2) + (x(B))^(2)) + ""
m: false
Ζ = Midpoint(Μ, B)
Η = Midpoint(B, Ο)
κείμενο18: "εφω·σφω=(" + (x(Ξ)) + ")·(" + (y(Λ)) + ")=" + ((x(Ξ) * y(Λ))) + ""
n: false
Θ = (3.3147572794378863, -1.185571905704509)
Κ = (4.112521560188544, -1.185571905704509)

Tool: Συν
Input: Δ, Γ
Output: j, Ε, i

h = OrthogonalLine(Δ, xAxis)
Ε = Intersect(xAxis, h)
i = Segment(Γ, Ε)
j = Segment(Δ, Ε)

Tool: Ημιτ
Input: Δ, Γ
Output: j, Ε, k

i = OrthogonalLine(Δ, yAxis)
Ε = Intersect(i, yAxis)
j = Segment(Δ, Ε)
k = Segment(Γ, Ε)

Tool: Εφαπτ
Tο (1,0), Κέντρο κύκλου, Σημείο κύκλου
Input: Α, Δ, Γ
Output: k, j, Ε, i

d = OrthogonalLine(Α, xAxis)
h = Line(Γ, Δ)
Ε = Intersect(d, h)
i = Segment(Α, Ε)
j = Segment(Γ, Ε)
k = Segment(Γ, Δ)

Tool: Συνεφαπτομένη
Σημείο Κύκλου, Κέντρο, (1,0)
Input: Δ, Γ, Ε
Output: m, Η, l

i = OrthogonalLine(Ε, yAxis)
j = Line(Δ, Γ)
Η = Intersect(i, j)
l = Segment(Δ, Η)
m = Segment(Ε, Η)

Tool: Οριζόντια Αριθμογραμμή Νουμερα (command ΟριζΑριθμΝουμ)
Αρχικό Σημείο, Συνολικό Μήκος, Διαστήματα Χωρισμού, Αρχή Νούμερων
Input: Δ, ΑρΑρ, ΑρΔιασΟριζ, ΝουμΑρχ
Output: Τ, ΤμΑρΟρ_1, ΤμΑρΟρ, ΤμΑρΟρΔεκ, ΝουμΑρΟρ

Τ: Δ + (ΑρΑρ, 0)
ΤμΑρΟρ_1 = Segment(Δ, Τ)
ΜονΔΟρΑρ = Vector(Δ, Δ + (ΤμΑρΟρ_1 / ΑρΔιασΟριζ, 0))
ΤμΑρΟρ = Sequence(Translate[Segment[Δ - (0, 0.1), Δ + (0, 0.1)], Vector[(i * ΜονΔΟρΑρ)]], i, 0, ΑρΔιασΟριζ)
ΤμΑρΟρΔεκ = Sequence(Translate[Segment[Δ - (0, 0.05), Δ + (0, 0.05)], Vector[(i / 10 * ΜονΔΟρΑρ)]], i, 0, (10 * ΑρΔιασΟριζ))
ΝουμΑρΟρ = Sequence(Text[ΝουμΑρχ + i, (x(Δ) - 0.1 + (i * x(ΜονΔΟρΑρ)), y(Δ) - 0.4)], i, 0, ΑρΔιασΟριζ)

Tool: Οριζ ΑριθμΠ (command ΟριζΑριθμΠ)
Αρχικό Σημείο, Μήκος Αριθμογραμμής, Διαστήματα που θα χωριστεί, Αρχή(πχ-6π)
Input: Δ, ΜηκΑρ, ΑρΔιασΟριζ, ΝουμΑρχ
Output: ΝουμΑρΟρ, ΤμΑρΟρ, ΤμΑρΟρ_1

Τ: Δ + (ΜηκΑρ, 0)
ΤμΑρΟρ_1 = Segment(Δ, Τ)
ΜονΔΟρΑρ = Vector(Δ, Δ + (ΤμΑρΟρ_1 / ΑρΔιασΟριζ, 0))
ΤμΑρΟρ = Sequence(Translate[Segment[Δ - (0, 0.1), Δ + (0, 0.1)], Vector[(i * ΜονΔΟρΑρ)]], i, 0, ΑρΔιασΟριζ)
ΝουμΑρΟρ = Sequence(Text[((ΝουμΑρχ + (i * pi)) / pi * "π"), (x(Δ) - 0.1 + (i * x(ΜονΔΟρΑρ)), y(Δ) - 0.4)], i, 0, ΑρΔιασΟριζ)

Tool: Κατακ Αριθμ Νούμερα (command ΚατακΑρΝούμ)
Σημείο, μήκος, Σε πόσα θα χωρίζεται, Αρχή νούμερων
Input: Δ, ΑρΑρ, ΑρΔιασΚατ, ΑρΝουμΑρχΚατ
Output: ΑρΤμΚατ, ΑρΤμΚατΔεκ, ΑρΤμΚατ_1, ΑρΝουμΚατ

Τ: Δ + (0, ΑρΑρ)
ΑρΤμΚατ_1 = Segment(Δ, Τ)
ΑρΜονΔΚατ = Vector(Δ, Δ + (0, ΑρΤμΚατ_1 / ΑρΔιασΚατ))
ΑρΤμΚατ = Sequence(Translate[Segment[Δ - (0.1, 0), Δ + (0.1, 0)], Vector[(i * ΑρΜονΔΚατ)]], i, 0, ΑρΔιασΚατ)
ΑρΤμΚατΔεκ = Sequence(Translate[Segment[Δ - (0.03, 0), Δ + (0.03, 0)], Vector[(i / 10 * ΑρΜονΔΚατ)]], i, 0, (10 * ΑρΔιασΚατ))
ΑρΝουμΚατ = Sequence(Text[ΑρΝουμΑρχΚατ + i, (x(Δ) + 0.15, y(Δ) - 0.05 + (i * y(ΑρΜονΔΚατ)))], i, 0, ΑρΔιασΚατ)