Υπολογισμός ψηφίων του e
Author: ΑΡΔΑΒΑΝΗ ΚΑΛΛΙΟΠΗ
Date: 20 Μάρτιος 2013

ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ

 Υπολογισμός

   ψηφίων 

    του e   

Αύξηση  του n

Αύξηση του n

Κάθε φορά που πατάς το κουμπί, αύξηση του n, η τιμή της μεταβλητής n
αυξάνεται με βήμα km. Με αυτό τον τρόπο έχουμε τη δυνατότητα το  n να
αυξάνεται με μεγαλύτερα βήματα και να παρατηρήσουμε περισσότερα
δεκαδικά ψηφία της παράστασης
Ρύθμισε τις τιμές των δρομέων  ώστε k=10, m=10 και επανάλαβε
πολλές φορές το πάτημα του κουμπιού αύξηση του n.
Παρατήρησε τη τιμή της παράστασης  $\left(1+\frac{1}{n}   \right) ^{n}$ καθώς το n αυξάνει.. 
Δώσε ακόμη μεγαλύτερες αυξήσεις στη τιμή του n ρυθμίζοντας κατάλληλα
την τιμή των δρομέων k, m. Για παράδειγμα βάλε k=100 και m=20.
Παρατήρησε τον τρόπο που μεταβάλλονται τα ψηφία της τιμής που λαμβάνει 
η παράσταση όσο το  n μεγαλώνει. Από ποια τιμή και πάνω του n, φαίνεται ότι
σταθεροποιούνται τα πρώτα 5 ψηφία της τιμής της παράστασης; 

Καθώς η τιμή της μεταβλητής n αυξάνει, αυξάνει και 
το $\left( 1+\frac{1}{n}  \right) ^{n}$ και προσεγγίζει έναν ορισμένο πραγματικό
αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e.
Ο αριθμός e με προσέγγιση των 5 πρώτων ψηφίων του είναι
e≅2.71828
Συμβολικά γράφουμε $e=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 

Σχόλιο

Θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε τη τιμή της παράστασης
$\left( 1+\frac{1}{n}  \right) ^n$ όταν ο αριθμός n παίρνει μεγάλες τιμές.

1η

Κάθε φορά που πατάς το κουμπί, αύξηση του n, η τιμή της μεταβλητής n
αυξάνεται με βήμα k. Η τιμή που λαμβάνει η μεταβλητή k εξαρτάται από το
δρομέα k. Ρύθμισε το δρομέα  ώστε k=1 και πάτησε το κουμπί αύξηση
του n. Επανάλαβε αρκετές φορές το πάτημα του κουμπού και παρατήρησε
την τιμή της παράστασης  $\left( 1+\frac{1}{n}  \right) ^{n}$ καθώς το n αυξάνει.
Εχεις τη δυνατότητα να βλέπεις τόσο την αλγεβρική τιμή της παράστασης
όσο και τη γεωμετρική της (σημείο με κίτρινο χρώμα) πάνω στον άξονα των
πραγματικών αριθμών.
Μπορείς να αλλάξεις τη τιμή του k ώστε η αύξηση του n να γίνει μεγαλύτερη.

Παρατήρησε ότι το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της  τιμής της παράστασης σταθεροποιείται για n > 100.  

2η

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

e

n = 1 (slider from 1 to 1334750, step 1)
e: (1 + 1 / n)^(n)
k = 1 (slider from 1 to 100, step 1)
m = 10 (slider from 10 to 100, step 10)
l: (k * m)
b: false
c: false
st = 1.555555555500069
d = false
st2 = 2
st3 = 3
st4 = 4
st5 = 5
Α = (2.718281828459045, 0)
dif: ℯ - e
Β: (e, 0)
κείμενο1: " \left( 1+\frac{1}{n}  \right) ^n =\left(1+ \frac{1}{" + (LaTeX[n]) + "}  \right)^{" + (LaTeX[n]) + "} =" + (LaTeX[e]) + ""
a: floor(lg(dif))
max: ℯ + 10^(a + 1)
min: ℯ - 10^(a + 1)
Γ = (3.4508279539202995, -1.0869192751235586)
Δ = (3.6574700203409636, -1.0869192751235586)