Ψηφιακό Σχολείο: Μαθηματικά Α΄ Λυκείου - Ιδιότητες των ανισοτήτων

Αν 4.5 < α < 4.6 και 5.3 <  β < 5.4 τότε να μελετήσετε 
τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

α+β

α²+β²

α-β

α/β

1) Να χρησιμοποιήσετε τους δρομείς α, β για να
αλλάξετε τις τιμές των α, β και να κάνετε μία εκτίμηση 
για το εύρος των τιμών του α+β
2) Ποια φαίνεται να είναι η ελάχιστη τιμή του α+β;
3) Ποια φαίνεται να είναι η μέγιστη τιμή του α+β;

Να αποδείξετε ότι: 9.8 < α+β < 10

\begin{array}\fgcolor{FF9900}{(1)-(2):\,\,4.5-5.3<α-β<4.6-5.4}\
\fgcolor{FF9900}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-0.8<α-β<-0.8}\end{array}

\left\{\begin{array}\fgcolor{FF9900}{4.5<α<4.6\,\,(1)}\ \fgcolor{FF9900}{5.3<β<5.4\,\,(2)}\end{array}\right

1) Να χρησιμοποιήσετε τους δρομείς α, β για να
αλλάξετε τις τιμές των α, β και να κάνετε μία εκτίμηση 
για το εύρος των τιμών του α-β
2) Ποια φαίνεται να είναι η ελάχιστη τιμή του α-β;
3) Ποια φαίνεται να είναι η μέγιστη τιμή του α-β;

1) Τα συμπεράσματά σας συμφωνούν με τον παραπάνω
συλλογισμό;
2) Αν τα συμπεράσματά σας δεν συμφωνούν με το
συλλογισμό, τότε που βρίσκεται το λάθος;

Ένας συλλογισμός:

αβ

\begin{array} 11)\,\, Να\,\,χρησιμοποιήσετε\,\, τους\,\, δρομείς\,\, α,\,\, β\,\, για\,\, να\
αλλάξετε\,\, τις\,\, τιμές\,\, των\,\, α,\,\, β\,\, και\,\, να\,\, κάνετε\,\, μία\,\, εκτίμηση\
για\,\,το\,\,εύρος\,\,των\,\,τιμών\,\,του\,\,γινομένου\,\,α\cdotβ\
2)\,\,Ποια\,\,φαίνεται\,\,να\,\,είναι\,\,η\,\,ελάχιστη\,\,τιμή\,\,του\,\,α\cdotβ;\
3)\,\,Ποια\,\,φαίνεται\,\,να\,\,είναι\,\,η\,\,μέγιστη\,\,τιμή\,\,του\,\,α\cdotβ;\end{array}

Να\,\,αποδείξετε\,\,ότι:\,\,\,23.85\,\,<\,\,α\cdotβ\,\,<\,\,24.84

\begin{array}11)\,\, Να\,\,χρησιμοποιήσετε\,\, τους\,\, δρομείς\,\, α,\,\, β\,\, για\,\, να\
αλλάξετε\,\, τις\,\, τιμές\,\, των\,\, α,\,\, β\,\, και\,\, να\,\, κάνετε\,\, μία\,\, εκτίμηση\
για\,\,το\,\,εύρος\,\,των\,\,τιμών\,\,του\,\,λόγου\,\, \frac{ α }{β }\
2)\,\,Ποια\,\,φαίνεται\,\,να\,\,είναι\,\,η\,\,ελάχιστη\,\,τιμή\,\,του\,\, \frac{ α }{ β};\
3)\,\,Ποια\,\,φαίνεται\,\,να\,\,είναι\,\,η\,\,μέγιστη\,\,τιμή\,\,του\,\, \frac{ α }{β };\end{array}

\left\{\begin{array}\fgcolor{FF9900}{ 4.5<α<4.6\,\,(1)}\ \fgcolor{FF9900}{5.3<β<5.4\,\,(2)}\end{array}\right

\begin{array}\fgcolor{FF9900}{(1)/(2):\,\, \frac{ 4.5 }{5.3 }\,\,<\,\, \frac{ α }{β }\,\, <\,\, \frac{ 4.6 }{5.4 } }\
\fgcolor{FF9900}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0.8491\,\,<\,\, \frac{ α }{β }\,\, <\,\,0.8519}\end{array}

1) Γιατί τα συμπεράσματά σας ΔΕΝ συμφωνούν 
με τον διπλανό συλλογισμό;
2) Που βρίσκεται το λάθος;

Ένα λάθος!

\begin{array}11)\,\, Να\,\,χρησιμοποιήσετε\,\, τους\,\, δρομείς\,\, α,\,\, β\,\, για\,\, να\
αλλάξετε\,\, τις\,\, τιμές\,\, των\,\, α,\,\, β\,\, και\,\, να\,\, κάνετε\,\, μία\,\, εκτίμηση\
για\,\,το\,\,εύρος\,\,των\,\,τιμών\,\,του\,\,\,\,α^2+β^2 \
2)\,\,Ποια\,\,φαίνεται\,\,να\,\,είναι\,\,η\,\,ελάχιστη\,\,τιμή\,\,του\,\,α^2+β^2;\
3)\,\,Ποια\,\,φαίνεται\,\,να\,\,είναι\,\,η\,\,μέγιστη\,\,τιμή\,\,του\,\, α^2+β^2;\
4)\,\,Να\,\,αποδείξετε\,\,τον\,\,ισχυρισμό\,\,σας.\end{array}

  Ιδιότητες

ανισοτήτων

Δεδομένα - Ζητούμενα

α = 4.557 (slider from 4.5 to 4.6, step 0.001)
β = 5.371 (slider from 5.3 to 5.4, step 0.001)
a = false
b = false
c = false
d = false
κείμενο1: "α+β = " + α + " + " + β + " = " + (α + β)
e = false
f = false
κείμενο2: "α-β = " + α + " - " + β + " = " + (α - β)
κείμενο12: "α\cdotβ\,\,=\,\," + α + "\cdot" + β + "=" + ((α * β))
κείμενο3: " \frac{ α }{β } = \frac{ " + α + " }{" + β + "} =" + (α / β)
g = false
κείμενο4: "α^2+β^2=" + α + "^2+" + β + "^2=" + (α^(2) + β^(2))
Α = (20.294, -5.9608)
Β = (23.374, -5.9608)