Date: 22 Μάρτιος 2013

Μήκος κύκλου

Δραστηριότητα 1

Δραστηριότητα 3

2

3

4

π=3.14159...

5

Δραστηριότητα 2

Στον κύκλο με διάμετρο 1 έχουμε εγγράψει και περιγράψει ένα ισόπλευρο 
τρίγωνο. Σύροντας τον δρομέα ν διπλασιάζετε κάθε φορά το πλήθος των 
πλευρών των δυο κανονικών ν-γώνων.
Έστω L το μήκος του κύκλου και P_ν η περίμετρος του εγγεγραμμένου 
κανονικού ν-γώνου και P'_{ν} η περίμετρος του περιγεγραμμένου ν-γώνου.
☛ Για ν=3, ν=6 και ν=12 επαληθεύστε με υπολογισμούς στο τετράδιό σας, 
ότι η περίμετρος του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου ν-γώνου είναι 
αυτή που δίνει το λογισμικό και παριστάνεται στον παρακάτω άξονα.
☛ Σύρετε τον δρομέα ν και παρατηρήστε τι συμβαίνει καθώς διπλασιάζεται 
κάθε φορά ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου.
∙ Με ποιο σχήμα τείνουν να ταυτιστούν τα δυο πολύγωνα;
∙ Ποια σχέση συνδέει τα P_ν, L και P'_{ν} για κάθε ν;
   

Σύρετε τον δρομέα ν και παρατηρήστε στον παρακάτω πίνακα 
τις τιμές των όρων της ακολουθίας P_ν των περιμέτρων των 
εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων καθώς και τις αντίστοιχες τιμές
της ακολουθίας P'_ν των περιγεγραμμένων πολυγώνων.
☛ Ποιον αριθμό προσεγγίζουν οι όροι των ακολουθιών αυτών καθώς 
ο αριθμός των πλευρών των δυο πολυγώνων διπλασιάζεται συνεχώς;
☛ Ποιο είναι το μήκος του κύκλου με διάμετρο 1;

☛Αν μεταβάλλουμε την ακτίνα του κύκλου και
επαναλάβουμε την προηγούμενη διαδικασία
ποιο θα είναι το μήκος του; 
Π.χ. για R=1,πόσο γίνεται το μήκος του κύκλου;
Σύρετε τον δρομέα ν και παρατηρήστε 
τον πίνακα με τις τιμές των P_ν και P΄_ν καθώς
και τον λόγο L/2R.
☛Ποιον αριθμό προσεγγίζει ο λόγος L/2R;
Με τι ισούται το μήκος L του κύκλου;

\frac{P_{ν}}{2R}<\frac{L}{2R}<\frac{P΄_{ν}}{2R}

ΑΡΧΗ

Προσέγγιση του μήκους

 του κύκλου

με κανονικά πολύγωνα.

R: 0.5
ν = 1 (slider from 1 to If[j ∨ d, 10, 6], step 1)
λίστα1 = Sequence((3 * 2^(i - 1)), i, 1, 10)
λίστα12 = Take(λίστα1, 1, ν)
λίστα15 = Append("ν", λίστα12)
λίστα10: {(((2 * R) * 3) * sin((180 * ° / 3))), (((2 * R) * 6) * sin((180 * ° / 6))), (((2 * R) * 12) * sin((180 * ° / 12))), (((2 * R) * 24) * sin((180 * ° / 24))), (((2 * R) * 48) * sin((180 * ° / 48))), (((2 * R) * 96) * sin((180 * ° / 96))), (((2 * R) * 192) * sin((180 * ° / 192))), (((2 * R) * 384) * sin((180 * ° / 384))), (((2 * R) * 768) * sin((180 * ° / 768))), (((2 * R) * 1536) * sin((180 * ° / 1536)))}
λίστα13 = Take(λίστα10, 1, ν)
λίστα16 = Append("Pν", λίστα13)
λίστα11: {(((2 * R) * 3) * tan((180 * ° / 3))), (((2 * R) * 6) * tan((180 * ° / 6))), (((2 * R) * 12) * tan((180 * ° / 12))), (((2 * R) * 24) * tan((180 * ° / 24))), (((2 * R) * 48) * tan((180 * ° / 48))), (((2 * R) * 96) * tan((180 * ° / 96))), (((2 * R) * 192) * tan((180 * ° / 192))), (((2 * R) * 384) * tan((180 * ° / 384))), (((2 * R) * 768) * tan((180 * ° / 768))), (((2 * R) * 1536) * tan((180 * ° / 1536)))}
λίστα14 = Take(λίστα11, 1, ν)
λίστα17 = Append("P΄ν", λίστα14)
Η = (2, 0)
Γ: Η + (0, 0.1)
Δ: Γ + (1.5, 0)
Σ: Δ + ((4 * 0.025), 0)
Ο = (4.688333333333194, 0.8783333333333337)
c = Circle(Ο, R)
a: (3 * 2^(ν - 1))
Α = Point(c)
λίστα2 = Sequence(Rotate[Α, ((k * 360) * ° / a), Ο], k, 1, a)
λίστα3 = Sequence(Segment[Element[λίστα2, i], Element[λίστα2, Mod[i, a] + 1]], i, 1, a + 1)
κείμενο2: "αριθμός πλευρών=" + a + ""
λίστα4 = Sequence(Tangent[Element[λίστα2, i], c], i, 1, a)
λίστα5 = Sequence(Intersect[Element[λίστα4, i], Element[λίστα4, Mod[i, a] + 1]], i, 1, a)
λίστα6 = Sequence(Segment[Element[λίστα5, i], Element[λίστα5, Mod[i, a] + 1]], i, 1, a)
b: false
d: false
κείμενο1 = If(ν ≟ 1, "ισόπλευρο τρίγωνο", If[ν ≟ 2, "εξάγωνο", If[ν > 2, "" + ((a * "-γωνο"))]])
e = Segment(Ο, Α)
Β = Midpoint(e)
πολύγ1 = Polygon(λίστα2)
πολύγ2 = Polygon(λίστα5)
Π_{εγ} = Perimeter(πολύγ1)
Π_{περ} = Perimeter(πολύγ2)
Ε: Γ + (Δ - Γ) / 3
u = Vector(Γ, Ε)
Ζ = (3.141592653589793, 0)
Θ = Midpoint(Η, Ζ)
g = Circle(Γ, Segment[Η, Θ])
f = Segment(Γ, Σ)
Ι = Intersect(g, f)
Κ: (Π_{εγ}, 0)
Λ: (Π_{περ}, 0)
h = Circle(Γ, (x(Κ) - x(Η)) / 2)
Μ = Intersect(h, f)
Ν: Μ + (0, 0.15)
v = Vector(Ν, Μ)
k = Circle(Γ, (x(Λ) - x(Η)) / 2)
Ξ = Intersect(k, f)
Π: Γ + (2 * (Δ - Γ) / 3)
λίστα8 = Sequence(Translate[Segment[Γ + (0.25, 0.03), Γ + (0.25, -0.03)], Vector[(i * u)]], i, 0, 2)
λίστα7 = Sequence(Translate[Segment[Γ - (0, 0.05), Γ + (0, 0.05)], Vector[(i * u)]], i, 0, 3)
λίστα9 = Sequence(Translate[Segment[Γ + (0.025, 0.015), Γ + (0.025, -0.015)], Vector[(i / 20 * u)]], i, 0, 63)
i = Segment(Δ, Σ)
Τ: Ξ - (0, 0.15)
w = Vector(Τ, Ξ)
κείμενο15 = TableText({λίστα15, λίστα16, λίστα17}, "vc|_")
κείμενο12: "" + (LaTeX[κείμενο15]) + ""
j: false
κείμενο14 = TableText({λίστα15, λίστα16}, "vc|_")
κείμενο16 = TableText({λίστα15, λίστα17}, "vc|_")
κείμενο18: "" + (LaTeX[κείμενο14]) + ""
κείμενο5: "P_{" + a + "}=" + Π_{εγ} + ""
κείμενο4: "R=" + R + ""
κείμενο6: "P'_{" + a + "}=" + Π_{περ} + ""
κείμενο22: "" + Π_{εγ} + " < L < " + Π_{περ} + ""
κείμενο23: "" + (LaTeX[Π_{εγ} / ((2 * R))]) + "<\frac{L}{2R}<" + (LaTeX[Π_{περ} / ((2 * R))]) + ""
Ρ = (6.109166666666667, -0.4358333333333333)
Υ = (6.884166666666462, -0.4258333333333333)