Author: Σούφαρη Αθανασία
Date: 4 Ιούλιος 2013

δείξε πολύγωνα

δείξε σπείρα

Δημιουργία σπείρας

κίνηση

☛ Να εκφράσετε την πλευρά του 2ου και  3ου (από έξω προς τα μέσα)
 κανονικού εξαγώνου ως συνάρτηση της ακτίνας R.
☛ Ποια είναι η πλευρά του 19ου κανονικού εξαγώνου;
☛ Αν στο σχήμα υπήρχαν 50 κανονικά εξάγωνα, 
ποια η πλευρά του 50-οστού κανονικού εξαγώνου;
☛ Μπορείτε να διατυπώσετε ένα  γενικό συμπέρασμα;

Το σπειροειδές σχήμα που βλέπετε
δημιουργήθηκε από κανονικά πολύγωνα.
☛ Μπορείτε να  διατυπώσετε μια εικασία
για το είδος των κανονικών πολυγώνων
που το δημιούργησε; 
☛ Κλικ στο κουμπί με το βελάκι για να συνεχίσετε.

☛  Παρατηρήστε το σχήμα.
☛  Μπορείτε τώρα να καταλάβετε
πως δημιουργήθηκε η σπείρα;

Κλικ στο κουμπί ''Δημιουργία σπείρας''
για να δείτε πως δημιουργήθηκε.

Περιγράψτε πως θα κατασκευάζατε
εσείς τη σπείρα αυτή.

☛ Την σπείρα τη δημιουργούν 19 κανονικά εξάγωνα.
☛ Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σπείρας ως συνάρτηση 
της ακτίνας R.

ΑΡΧΗ

Λίγη βοήθεια;

Έστω β_1, β_2, β_3,… β_ν οι πλευρές των εξαγώνων που 
δημιουργούνται από έξω προς τα μέσα.
☛ Η πλευρά του 2ου κανονικού εξαγώνου είναι το τμήμα 
που συνδέει τα μέσα δυο διαδοχικών πλευρών του κανονικού 
εξαγώνου και επομένως ίση με το μισό της τρίτης πλευράς του 
τριγώνου που δημιουργούν αυτές οι δυο πλευρές που είναι
πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R. 
Άρα: $β_2=\frac{R\sqrt{3}}{2}$
☛ Σκεφτείτε ότι η πλευρά κανονικού εξαγώνου ισούται με την 
ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του. Είναι: $β_3=R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}   \right)^2  $
☛ Σκεφτείτε παρόμοια για να απαντήσετε στα υπόλοιπα
ερωτήματα.

☛ Το εμβαδόν των τριών ''μαύρων'' τριγώνων 
ισούται με: $\frac{Ε_1-Ε_2}{2}$, όπου Ε_1, Ε_2 είναι τα εμβαδά 
των δυο  κανονικών εξαγώνων. 
☛ Σκεφτείτε παρόμοια για να υπολογίσετε το εμβαδόν
των άλλων κομματιών της σπείρας.
☛ Αποδείξτε ότι η ακολουθία των εμβαδών των κανονικών
εξαγώνων αποτελεί γεωμετρική πρόοδο.

Απάντηση

Ε_{σπείρας}=\frac{Ε_1-Ε_2}{2}+\frac{Ε_2-Ε_3}{2}+...+\frac{Ε_{18}-Ε_{19}}{2}=\
=\frac{Ε_1-Ε_{19}}{2}=...=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\left[ 1-  \left( \frac{3}{4}  \right)^{18} \right] 

ασπρόμαυρο φόντο

Πολυγωνική σπείρα

R: 4
Α = (0, 3)
c = Circle(Α, R)
Β = Point(c)
λίστα1 = Sequence(Rotate[Β, ((i * 360) * ° / 6), Α], i, 1, 6)
n: 0
λίστα2 = Sequence(Segment[Element[λίστα1, i], Element[λίστα1, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα3 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα2, i]], Midpoint[Element[λίστα2, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα4 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα3, i]], Midpoint[Element[λίστα3, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα5 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα4, i]], Midpoint[Element[λίστα4, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα6 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα5, i]], Midpoint[Element[λίστα5, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα7 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα6, i]], Midpoint[Element[λίστα6, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα8 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα7, i]], Midpoint[Element[λίστα7, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα9 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα8, i]], Midpoint[Element[λίστα8, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα10 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα9, i]], Midpoint[Element[λίστα9, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα11 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα10, i]], Midpoint[Element[λίστα10, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα12 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα11, i]], Midpoint[Element[λίστα11, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα13 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα12, i]], Midpoint[Element[λίστα12, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα14 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα13, i]], Midpoint[Element[λίστα13, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα15 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα14, i]], Midpoint[Element[λίστα14, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα16 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα15, i]], Midpoint[Element[λίστα15, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα17 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα16, i]], Midpoint[Element[λίστα16, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα18 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα17, i]], Midpoint[Element[λίστα17, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα19 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα18, i]], Midpoint[Element[λίστα18, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα20 = Sequence(Segment[Midpoint[Element[λίστα19, i]], Midpoint[Element[λίστα19, Mod[i, 6] + 1]]], i, 1, 6)
λίστα21 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα1, i], Element[λίστα1, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα22 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα21, i], Element[λίστα21, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα23 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα22, i], Element[λίστα22, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα24 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα23, i], Element[λίστα23, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα25 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα24, i], Element[λίστα24, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα26 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα25, i], Element[λίστα25, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα27 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα26, i], Element[λίστα26, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα28 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα27, i], Element[λίστα27, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα29 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα28, i], Element[λίστα28, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα30 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα29, i], Element[λίστα29, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα31 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα30, i], Element[λίστα30, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα32 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα31, i], Element[λίστα31, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα33 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα32, i], Element[λίστα32, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα34 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα33, i], Element[λίστα33, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα35 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα34, i], Element[λίστα34, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα36 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα35, i], Element[λίστα35, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα37 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα36, i], Element[λίστα36, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
λίστα38 = Sequence(Midpoint[Element[λίστα37, i], Element[λίστα37, Mod[i, 6] + 1]], i, 1, 6)
Γ = Element(λίστα1, 1)
Δ = Element(λίστα21, 1)
Ε = Element(λίστα21, 6)
πολύγ1, ε, δ, γ = Polygon(Δ, Γ, Ε)
Ζ = Element(λίστα22, 5)
Η = Element(λίστα22, 6)
πολύγ2, ζ, η, ε_1 = Polygon(Η, Ε, Ζ)
Θ = Element(λίστα23, 4)
Ι = Element(λίστα23, 5)
πολύγ3, θ, ι, ζ_1 = Polygon(Ι, Ζ, Θ)
Κ = Element(λίστα24, 3)
Λ = Element(λίστα24, 4)
πολύγ4, λ, κ, θ_1 = Polygon(Κ, Θ, Λ)
Μ = Element(λίστα25, 2)
Ν = Element(λίστα25, 3)
πολύγ5, κ_1, μ, ν = Polygon(Μ, Ν, Κ)
Ξ = Element(λίστα26, 1)
Ο = Element(λίστα26, 2)
πολύγ6, μ_1, ξ, ο = Polygon(Ξ, Ο, Μ)
Π = Element(λίστα27, 6)
Ρ = Element(λίστα27, 1)
πολύγ7, ρ, π, ξ_1 = Polygon(Π, Ξ, Ρ)
Σ = Element(λίστα28, 5)
Τ = Element(λίστα28, 6)
πολύγ8, τ, σ, π_1 = Polygon(Σ, Π, Τ)
Υ = Element(λίστα29, 4)
Φ = Element(λίστα29, 5)
πολύγ9, φ, σ_1, υ = Polygon(Σ, Υ, Φ)
Χ = Element(λίστα30, 4)
Ψ = Element(λίστα30, 3)
πολύγ10, χ, ψ, υ_1 = Polygon(Ψ, Υ, Χ)
Ω = Element(λίστα31, 3)
Α_1 = Element(λίστα31, 2)
πολύγ11, ω, α_1, ψ_1 = Polygon(Α_1, Ψ, Ω)
Β_1 = Element(λίστα32, 2)
Γ_1 = Element(λίστα32, 1)
πολύγ12, γ_1, β_1, α_2 = Polygon(Β_1, Α_1, Γ_1)
Δ_1 = Element(λίστα33, 1)
Ε_1 = Element(λίστα33, 6)
πολύγ13, ε_2, δ_1, γ_2 = Polygon(Δ_1, Γ_1, Ε_1)
Ζ_1 = Element(λίστα34, 6)
Η_1 = Element(λίστα34, 5)
πολύγ14, η_1, ε_3, ζ_2 = Polygon(Ε_1, Ζ_1, Η_1)
Θ_1 = Element(λίστα35, 5)
Ι_1 = Element(λίστα35, 4)
πολύγ15, ι_1, θ_2, η_2 = Polygon(Θ_1, Η_1, Ι_1)
Κ_1 = Element(λίστα36, 3)
Λ_1 = Element(λίστα36, 4)
πολύγ16, κ_2, λ_1, ι_2 = Polygon(Λ_1, Ι_1, Κ_1)
Μ_1 = Element(λίστα37, 3)
Ν_1 = Element(λίστα37, 2)
πολύγ17, μ_2, ν_1, κ_3 = Polygon(Ν_1, Κ_1, Μ_1)
Ξ_1 = Element(λίστα38, 2)
Ο_1 = Element(λίστα38, 1)
πολύγ18, ξ_2, ο_1, ν_2 = Polygon(Ο_1, Ν_1, Ξ_1)
Δ' = Rotate(Δ, 120°, Α)
Γ' = Rotate(Γ, 120°, Α)
Ε' = Rotate(Ε, 120°, Α)
πολύγ1', ε', δ', γ' = Polygon(Δ', Γ', Ε')
Ψ' = Rotate(Ψ, 120°, Α)
Υ' = Rotate(Υ, 120°, Α)
Χ' = Rotate(Χ, 120°, Α)
πολύγ10', χ', ψ', υ' = Polygon(Ψ', Υ', Χ')
Π_1 = Rotate(Α_1, 120°, Α)
Ψ'_1 = Rotate(Ψ, 120°, Α)
Ω' = Rotate(Ω, 120°, Α)
πολύγ11', ω', π_2, ψ'_1 = Polygon(Π_1, Ψ'_1, Ω')
Ρ_1 = Rotate(Β_1, 120°, Α)
Σ_1 = Rotate(Α_1, 120°, Α)
Τ_1 = Rotate(Γ_1, 120°, Α)
πολύγ12', τ_1, ρ_1, σ_2 = Polygon(Ρ_1, Σ_1, Τ_1)
Υ_1 = Rotate(Δ_1, 120°, Α)
Φ_1 = Rotate(Γ_1, 120°, Α)
Χ_1 = Rotate(Ε_1, 120°, Α)
πολύγ13', χ_1, υ_2, φ_1 = Polygon(Υ_1, Φ_1, Χ_1)
Ψ_1 = Rotate(Ε_1, 120°, Α)
Ω_1 = Rotate(Ζ_1, 120°, Α)
Α_2 = Rotate(Η_1, 120°, Α)
πολύγ14', α_3, ψ_2, ω_1 = Polygon(Ψ_1, Ω_1, Α_2)
Β_2 = Rotate(Θ_1, 120°, Α)
Γ_2 = Rotate(Η_1, 120°, Α)
Δ_2 = Rotate(Ι_1, 120°, Α)
πολύγ15', δ_2, β_2, γ_3 = Polygon(Β_2, Γ_2, Δ_2)
Ε_2 = Rotate(Λ_1, 120°, Α)
Ζ_2 = Rotate(Ι_1, 120°, Α)
Η_2 = Rotate(Κ_1, 120°, Α)
πολύγ16', η_3, ε_4, ζ_3 = Polygon(Ε_2, Ζ_2, Η_2)
Θ_2 = Rotate(Ν_1, 120°, Α)
Ι_2 = Rotate(Κ_1, 120°, Α)
Κ_2 = Rotate(Μ_1, 120°, Α)
πολύγ17', κ_4, θ_3, ι_3 = Polygon(Θ_2, Ι_2, Κ_2)
Λ_2 = Rotate(Ο_1, 120°, Α)
Μ_2 = Rotate(Ν_1, 120°, Α)
Ν_2 = Rotate(Ξ_1, 120°, Α)
πολύγ18', ν_3, λ_2, μ_3 = Polygon(Λ_2, Μ_2, Ν_2)
Η' = Rotate(Η, 120°, Α)
Ε'_1 = Rotate(Ε, 120°, Α)
Ζ' = Rotate(Ζ, 120°, Α)
πολύγ2', ζ', η', ε'_1 = Polygon(Η', Ε'_1, Ζ')
Ι' = Rotate(Ι, 120°, Α)
Ζ'_1 = Rotate(Ζ, 120°, Α)
Θ' = Rotate(Θ, 120°, Α)
πολύγ3', θ', ι', ζ'_1 = Polygon(Ι', Ζ'_1, Θ')
Κ' = Rotate(Κ, 120°, Α)
Θ'_1 = Rotate(Θ, 120°, Α)
Λ' = Rotate(Λ, 120°, Α)
πολύγ4', λ', κ', θ'_1 = Polygon(Κ', Θ'_1, Λ')
Μ' = Rotate(Μ, 120°, Α)
Ν' = Rotate(Ν, 120°, Α)
Κ'_1 = Rotate(Κ, 120°, Α)
πολύγ5', κ'_1, μ', ν' = Polygon(Μ', Ν', Κ'_1)
Ξ' = Rotate(Ξ, 120°, Α)
Ο' = Rotate(Ο, 120°, Α)
Μ'_1 = Rotate(Μ, 120°, Α)
πολύγ6', μ'_1, ξ', ο' = Polygon(Ξ', Ο', Μ'_1)
Π' = Rotate(Π, 120°, Α)
Ξ'_1 = Rotate(Ξ, 120°, Α)
Ρ' = Rotate(Ρ, 120°, Α)
πολύγ7', ρ', π', ξ'_1 = Polygon(Π', Ξ'_1, Ρ')
Σ' = Rotate(Σ, 120°, Α)
Π'_1 = Rotate(Π, 120°, Α)
Τ' = Rotate(Τ, 120°, Α)
πολύγ8', τ', σ', π'_1 = Polygon(Σ', Π'_1, Τ')
Σ'_1 = Rotate(Σ, 120°, Α)
Υ'_1 = Rotate(Υ, 120°, Α)
Φ' = Rotate(Φ, 120°, Α)
πολύγ9', φ', σ'_1, υ'_1 = Polygon(Σ'_1, Υ'_1, Φ')
Δ'_1 = Rotate(Δ, 240°, Α)
Γ'_1 = Rotate(Γ, 240°, Α)
Ε'_2 = Rotate(Ε, 240°, Α)
πολύγ1'_1, ε'_2, δ'_1, γ'_1 = Polygon(Δ'_1, Γ'_1, Ε'_2)
Ψ'_2 = Rotate(Ψ, 240°, Α)
Υ'_2 = Rotate(Υ, 240°, Α)
Χ'_1 = Rotate(Χ, 240°, Α)
πολύγ10'_1, χ'_1, ψ'_2, υ'_2 = Polygon(Ψ'_2, Υ'_2, Χ'_1)
Ξ_2 = Rotate(Α_1, 240°, Α)
Ψ'_3 = Rotate(Ψ, 240°, Α)
Ω'_1 = Rotate(Ω, 240°, Α)
πολύγ11'_1, ω'_1, ξ_3, ψ'_3 = Polygon(Ξ_2, Ψ'_3, Ω'_1)
Ο_2 = Rotate(Β_1, 240°, Α)
Π_2 = Rotate(Α_1, 240°, Α)
Ρ_2 = Rotate(Γ_1, 240°, Α)
πολύγ12'_1, ρ_2, ο_2, π_3 = Polygon(Ο_2, Π_2, Ρ_2)
Σ_2 = Rotate(Δ_1, 240°, Α)
Τ_2 = Rotate(Γ_1, 240°, Α)
Υ_2 = Rotate(Ε_1, 240°, Α)
πολύγ13'_1, υ_3, σ_3, τ_2 = Polygon(Σ_2, Τ_2, Υ_2)
Φ_2 = Rotate(Ε_1, 240°, Α)
Χ_2 = Rotate(Ζ_1, 240°, Α)
Ψ_2 = Rotate(Η_1, 240°, Α)
πολύγ14'_1, ψ_3, φ_2, χ_2 = Polygon(Φ_2, Χ_2, Ψ_2)
Ω_2 = Rotate(Θ_1, 240°, Α)
Α_3 = Rotate(Η_1, 240°, Α)
Β_3 = Rotate(Ι_1, 240°, Α)
πολύγ15'_1, β_3, ω_2, α_4 = Polygon(Ω_2, Α_3, Β_3)
Γ_3 = Rotate(Λ_1, 240°, Α)
Δ_3 = Rotate(Ι_1, 240°, Α)
Ε_3 = Rotate(Κ_1, 240°, Α)
πολύγ16'_1, ε_5, γ_4, δ_3 = Polygon(Γ_3, Δ_3, Ε_3)
Ζ_3 = Rotate(Ν_1, 240°, Α)
Η_3 = Rotate(Κ_1, 240°, Α)
Θ_3 = Rotate(Μ_1, 240°, Α)
πολύγ17'_1, θ_4, ζ_4, η_4 = Polygon(Ζ_3, Η_3, Θ_3)
Ι_3 = Rotate(Ο_1, 240°, Α)
Κ_3 = Rotate(Ν_1, 240°, Α)
Λ_3 = Rotate(Ξ_1, 240°, Α)
πολύγ18'_1, λ_3, ι_4, κ_5 = Polygon(Ι_3, Κ_3, Λ_3)
Η'_1 = Rotate(Η, 240°, Α)
Ε'_3 = Rotate(Ε, 240°, Α)
Ζ'_2 = Rotate(Ζ, 240°, Α)
πολύγ2'_1, ζ'_2, η'_1, ε'_3 = Polygon(Η'_1, Ε'_3, Ζ'_2)
Ι'_1 = Rotate(Ι, 240°, Α)
Ζ'_3 = Rotate(Ζ, 240°, Α)
Θ'_2 = Rotate(Θ, 240°, Α)
πολύγ3'_1, θ'_2, ι'_1, ζ'_3 = Polygon(Ι'_1, Ζ'_3, Θ'_2)
Κ'_2 = Rotate(Κ, 240°, Α)
Θ'_3 = Rotate(Θ, 240°, Α)
Λ'_1 = Rotate(Λ, 240°, Α)
πολύγ4'_1, λ'_1, κ'_2, θ'_3 = Polygon(Κ'_2, Θ'_3, Λ'_1)
Μ'_2 = Rotate(Μ, 240°, Α)
Ν'_1 = Rotate(Ν, 240°, Α)
Κ'_3 = Rotate(Κ, 240°, Α)
πολύγ5'_1, κ'_3, μ'_2, ν'_1 = Polygon(Μ'_2, Ν'_1, Κ'_3)
Ξ'_2 = Rotate(Ξ, 240°, Α)
Ο'_1 = Rotate(Ο, 240°, Α)
Μ'_3 = Rotate(Μ, 240°, Α)
πολύγ6'_1, μ'_3, ξ'_2, ο'_1 = Polygon(Ξ'_2, Ο'_1, Μ'_3)
Π'_2 = Rotate(Π, 240°, Α)
Ξ'_3 = Rotate(Ξ, 240°, Α)
Ρ'_1 = Rotate(Ρ, 240°, Α)
πολύγ7'_1, ρ'_1, π'_2, ξ'_3 = Polygon(Π'_2, Ξ'_3, Ρ'_1)
Σ'_2 = Rotate(Σ, 240°, Α)
Π'_3 = Rotate(Π, 240°, Α)
Τ'_1 = Rotate(Τ, 240°, Α)
πολύγ8'_1, τ'_1, σ'_2, π'_3 = Polygon(Σ'_2, Π'_3, Τ'_1)
Σ'_3 = Rotate(Σ, 240°, Α)
Υ'_3 = Rotate(Υ, 240°, Α)
Φ'_1 = Rotate(Φ, 240°, Α)
πολύγ9'_1, φ'_1, σ'_3, υ'_3 = Polygon(Σ'_3, Υ'_3, Φ'_1)
b: false
d: true
e: false
f: false
a: false
i: 1
g: false
h: false
Μ_3 = Corner(1, 1)
Ν_3 = Corner(1, 2)
Ξ_3 = Corner(1, 3)
Ο_3 = Corner(1, 4)
πολύγ19, μ_4, ν_4, ξ_4, ο_3 = Polygon(Μ_3, Ν_3, Ξ_3, Ο_3)
Π_3 = Corner(2, 1)
Ρ_3 = Corner(2, 2)
Σ_3 = Corner(2, 3)
Τ_3 = Corner(2, 4)
πολύγ20, π_4, ρ_3, σ_4, τ_3 = Polygon(Π_3, Ρ_3, Σ_3, Τ_3)
j: false