Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου

    ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

Δίνεται η ευθεία ΒΓ και οι προβολές Β΄, Γ΄ των
σημείων της Β και Γ στο επίπεδο p. Aν ΒΒ΄= ΓΓ΄
να διερευνήσεις τη σχετική θέση της ευθείας ΒΓ
με το επίπεδο p. 
Με το δρομέα c έχεις τη δυνατότητα να αλλάζεις 
το μήκος των τμημάτων ΒΒ΄, ΓΓ΄.

1η διερεύνηση

Δίνονται τα σημεία Β και Ε προς το ίδιο
μέρος του επιπέδου p. Να διερευνήσεις
τη σχετική θέση της ευθείας BE και του 
επιπέδου p.

Τα σημεία Β΄και Ε΄είναι οι προβολές των 
Β και Ε στο επίπεδο p. Με το δρομέα c έχεις
τη δυνατότητα να αλλάζεις τη γωνία που 
σχηματίζουν οι ευθείες ΒΕ και Β΄Ε΄.

1η Βοήθεια - Προβολές

2η διερεύνηση

2η Βοήθεια -Eπίπεδο ΒΕΕ΄Β΄

1α

1β

Η Ευθεία ΒΕ μπορεί να έχει ένα κοινό σημείο με 
το επίπεδο p
ή να μην εχει κοινό σημείο με το p, όταν ΒΕ//p
Άλλαξε το δρομέα c για να δεις τις παραπάνω
πιθανές θέσεις της ευθείας BE με το επίπεδο p.

3η βοήθεια

p

Το σημείο Δ ανήκει στο επίπεδο p και το Β΄
είναι η προβολή του Β στο επίπεδο p. Εχεις
τη δυνατότητα να μετακινείς το σημείο Δ σε μια
περιοχή του επιπέδου και να αλλάζεις τη θέση
του σημείου Β με τον δρομέα c.
Να διερευνήσεις τη σχετική θέση της ευθείας
ΒΔ με το επίπεδο p, όταν Β διαφορετικό του Δ .

Όταν ΒΒ΄≠0, η ευθεία ΒΓ//p, 
αφού το τετράπλευρο ΒΒ΄Γ΄Γ 
είναι ορθογώνιο (γιατί;)

Όταν ΒΒ΄=0 (ή ΓΓ΄=0) η ευθεία ΒΓ είναι
ευθεία του επιπέδου p.

Βοήθεια

Αν ΒΒ΄=0 τότε η ευθεία ΒΔ είναι ευθεία του
επιπέδου p, αλλιώς η ευθεία ΒΔ τέμνει το
επίπεδο στο Δ.
Ειδικά: αν Β΄Δ= 0 τότε η ευθεία ΒΔ είναι 
κάθετη στο επίπεδο p.

Βοήθεια

4η Βοήθεια -κοινό σημείο

f = 3 (slider from 0 to 5, step 0.1)
c: 0.9
b = 5 (slider from -1 to 5, step 0.1)
a = 3 (slider from 0 to 5, step 0.1)
zoom: 1
α: 25°
β: 15°
u: (zoom * (cos(β), ((-sin(α)) * sin(β))))
w: (zoom * (0, cos(α)))
v: (zoom * ((-sin(β)), ((-sin(α)) * cos(β))))
B1: a
A3: f
B5: a
C5: c
C7: c
B3: (-a)
A5: (-f)
A7: (-f)
B7: (-a)
Α = (2.7820908275584224, 2.878406988526935)
C1: c
A1: f
D1: Α + (A1 * u) + (B1 * v) + (C1 * w)
C2 = -1
A2: f
B2: a
D2: Α + (A2 * u) + (B2 * v) + (C2 * w)
C3: c
D3: Α + (A3 * u) + (B3 * v) + (C3 * w)
C4 = -1
A4: f
B4: (-a)
D4: Α + (A4 * u) + (B4 * v) + (C4 * w)
D5: Α + (A5 * u) + (B5 * v) + (C5 * w)
C6 = -1
A6: (-f)
B6: a
D6: Α + (A6 * u) + (B6 * v) + (C6 * w)
D7: Α + (A7 * u) + (B7 * v) + (C7 * w)
C8 = -1
A8: (-f)
B8: (-a)
D8: Α + (A8 * u) + (B8 * v) + (C8 * w)
A9: f
B9: a
A10: f
A11: (-f)
A12: (-f)
B10: (-a)
C11: b
B11: a
C12: b
B12: (-a)
C9: b
D9: Α + (A9 * u) + (B9 * v) + (C9 * w)
D11: Α + (A11 * u) + (B11 * v) + (C11 * w)
D12: Α + (A12 * u) + (B12 * v) + (C12 * w)
C10: b
D10: Α + (A10 * u) + (B10 * v) + (C10 * w)
πολύγ1, d12, d11, d9, d10 = Polygon(D12, D11, D9, D10)
πολύγ2, d7, d5, d1, d3 = Polygon(D7, D5, D1, D3)
p, d8, d6, d2, d4 = Polygon(D8, D6, D2, D4)
z = Vector(D11, D10)
d = Vector(D12, D9)
D5' = Translate(D5, Vector[(0.1 * z)])
D5'_1 = Translate(D5, Vector[(0.9 * z)])
D7' = Translate(D7, Vector[(0.1 * d)])
D7'_1 = Translate(D7, Vector[(0.9 * d)])
πολύγ4, d7', d5', d7'_1, d5'_1 = Polygon(D7', D5', D7'_1, D5'_1)
Β = PointIn(πολύγ4)
Γ = PointIn(πολύγ4)
e = Segment(Β, Γ)
D6' = Translate(D6, Vector[(0.1 * z)])
D6'_1 = Translate(D6, Vector[(0.9 * z)])
D8' = Translate(D8, Vector[(0.1 * d)])
D8'_1 = Translate(D8, Vector[(0.9 * d)])
πολύγ5, d8', d6'_1, d8'_1, d6' = Polygon(D8', D6'_1, D8'_1, D6')
Δ = PointIn(πολύγ5)
g = Segment(Β, Δ)
h = Ray(Β, Δ)
i: false
Ε = PointIn(πολύγ1)
j = Segment(Ε, Β)
l = Vector(D5, Β)
m = Line(Ε, Β)
k = Vector(D5, Γ)
p_1 = Line(D6, k)
q = Vector(D11, D6)
Ε' = Translate(Ε, q)
r = Vector(D5, D6)
Γ' = Translate(Γ, r)
Β' = Translate(Β, r)
n: false
o = false
πολύγ6, β_1, ε, ε', β' = Polygon(Β, Ε, Ε', Β')
s: false
t: false
a_1: false
b_1: false
D11' = Translate(D11, l)
γ = Angle(D2, D6, D8)
c_1 = Segment(Β, Β')
d_1 = Segment(Γ', Γ)
e_1: false
f_1: false
g_1 = Line(Ε, Β)
h_1 = Line(Ε', Β')
Ζ = Intersect(g_1, h_1)
i_1: false
j_1: false
k_1 = Ray(Δ, Β)
l_1 = Line(Β, Γ)
m_1 = Line(Β', Γ')
Η = (1.1304480344768029, 5.7062196494091015)
Θ = (5.860152396483259, 6.381891701124309)
n_1 = Line(Η, Θ)
Ι = (12.181439813641093, -4.924353964243504)
Κ = (16.520755879100996, -4.929358942404357)