Date: 28 Μάϊος 2013

'Υψος κάμερας

Μήκος κάμερας

Πλάτος κάμερας

επίπεδο p

Επίπεδο q

    Ο σκοτεινός θάλαμος, Camera Obscura στα  Λατινικά,
είναι ένα σκοτεινό δωμάτιο  όπου στη  μία του πλευρά
υπάρχει μία πολύ μικρή οπή. Από την οπή αυτή μπο-
ρούν  να διέρχονται οι ακτίνες του Ηλίου και  να  σχημα-
τίζουν στην απέναντι πλευρά ένα είδωλο της εξωτερικής 
εικόνας, αντεστραμμένης και με αντιμεταχώριση  της δε-
ξιάς και αριστερής πλευράς .
    Το 10 αιώνα μ.Χ ο  Abu Ali al Hasan Ibn al Haytham 
 γνωστός στο Δυτικό κόσμο ως Alhazen μελετώντας τις 
 περιγραφές του Αριστοτέλη χρησιμοποιεί  την Camera 
Obscura, με σκοπό να κάνει αστρονομικές παρατηρήσεις. 
   To σκοτεινό δωμάτιο χρησιμοποιήθηκε  από καλλιτέχ-
νες της Αναγέννησης ως βοήθημα για την προοπτική 
σχεδίαση. 
Αποτέλεσε την αρχή για την  εφεύρεση της φωτογραφίας. 
  

     Σκοτεινός θάλαμος  (Camera Obscura)                 

Ιστορικό σχόλιο

   Η διπλανή εικόνα είναι ένα μοντέλο του σκοτεινού θαλά-
μου. Η κάμερα που θέλουμε να αποδώσουμε είναι ένα
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Για να επιτευχθεί η τρισ-
διάσταση σχεδίαση διατηρήσαμε τις παραλληλίες των
πλευρών  ενώ δεν διατηρήσαμε τις ορθές γωνίες. 
 Έχεις τη δυνατότητα μετακινώντας τα τρία κόκκινα 
σημεία να αλλάζεις τις διαστάσεις της κάμερας (μήκος,
πλάτος και ύψος). Με το σημείο Κ μπορείς να αλλάζεις 
τη θέση της κάμερας. Οι δύο πλευρές τις κάμερας
ανήκουν στα παράλληλα επίπεδα  p και q.  H οπή O,
της κάμερας βρίσκεται στο επίπεδο q. 
    'Ενα αντικείμενο ΑΒ μπορεί  να τοποθετηθεί οπουδή-
ποτε κάθετα στην ευθεία ε και παράλληλα στο επίπεδο q.  
Η ευθεία ε  ανήκει στο επίπεδο   n,  της βασής της  κάμε-
ρας. Μπορείς να αλλάζεις  τη θέση της ευθείας ε από
το σημείο Μ.  Η ευθεία  AB  και η ευθεία ε ορίζουν το 
επίπεδο c. 'Ετσι  p//q//c

επίπεδο n

Μοντέλο Σκοτεινού Θαλάμου

ευθεία ε

Επίπεδο c

    Προσπάθησε να δημιουργήσεις το είδωλο Α' Β' του
αντικειμένου ΑΒ, που σχηματίζεται στο σκοτεινό θά-
λαμο πάνω στην επιφάνεια p, όταν οι φωτεινές ακτίνες
που προέρχονται απο το αντικείμενο ΑΒ διέλθουν μέ-
σα απο την οπή Ο. Ίσως απαιτηθεί να μετακινήσεις την
κάμερα (αλλάζοντας τη θέση του σημείου Κ) ώστε το
είδωλο να σχηματισθεί  στη γκρι επιφάνεια.                            

Πρέπει να βρείς που ακριβώς οι ημιευθείες ΑΟ και ΒΟ
 τέμνουν την επιφάνεια  p.
 Βασίσου στη γεωμετρική πρόταση που λέει:
<< Δυο τεμνόμενες ευθείες  ορίζουν ένα επίπεδο στο  
οποίο ανήκουν >> και προσπάθησε να κατασκευά-
σεις  το επίπεδο m που ορίζεται απο  τις φωτεινές
ακτίνες  ΑΟ και ΒΟ και να σχεδιάσεις τις τομές του
επιπέδου αυτού με τα επίπεδα p και  q.

Απο το σημείο Ο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στο ΑΒ 
που τέμνει τις ακμές του σκοτεινού θαλάμου στα σημεία 
Ε και Ζ.
Εφόσον Ο∈m και Ο∈ΕΖ και ΑΒ∈m και EΖ//ΑΒ άρα ΕΖ∈m 
Προσπάθησε να αντιληφθείς ποιά Θεωρήματα - προτά-
σεις  απαιτούνται να χρησιμοποιήσεις για τον παραπάνω
συλλογισμό.                                                                        

    Απο το σημείο Α φέρνουμε παράλληλη στην ευθεία 
ΖΕ και κατασκευάζουμε σημείο Η έτσι ώστε  το μή-
κος του ΑΗ να είναι ίσο με το ύψος του σκοτεινού 
θαλάμου. Σχεδιάζουμε την  ημιευθεία ΗΕ. Η ΗΕ∈m 
Στη συνέχεια  σχεδιάζουμε την ημιευθεία ΑΖ. Η ημιευθεία
ΑΖ ∈m. Οι ημιευθείες ΑΖ και ΗΕ τέμνουν τις ακμές του
σκοτεινού θαλάμου  στο σημεία  Θ, Λ αντίστοιχα.  
   Οι ευθείες ΕΖ και ΘΛ είναι οι τομές του επιπέδου m 
με τα επίπεδα q και p αντίστοιχα.
Ποια Θεωρήματα - προτάσεις  απαιτούνται να χρησιμο-
ποιήσεις για τον παραπάνω συλλογισμό;                                    

Βοήθεια 3η

Βοήθεια 2η

Βοήθεια 1η

   H ευθεία  ΘΛ  και οι ημιευθείες ΒΟ και ΑΟ ανήκουν στο
επίπεδο m και ΘΛ//ΑΒ.
'Εστω   Α' και Β'  τα σημεία τομής των ευθειών  ΑΟ  και 
ΒΟ αντίστοιχα με την ευθεία ΘΛ.
Το Α'Β' είναι το ζητούμενο είδωλο του ΑΒ.   
Ποια Θεωρήματα - προτάσεις  απαιτούνται να χρησιμο-
ποιήσεις για τον παραπάνω συλλογισμό;

Βοήθεια 4η

Δραστηριότητα

Επίπεδο m

 Προσοχή!!  Το είδωλο Α'Β'  του αντικειμένου ΑΒ δεν ανήκει στη 
γκρι επιφάνεια.  Προσπάθησε να μετακινήσεις κατάλληλα  την κά-
μερα (από το  σημείο Κ)  ή να αλλάξεις της διαστάσεις της κάμερας
(Μήκος,Πλάτος,Ύψος ) ώστε το είδωλο  να ανήκει στη γκρι επιφά-
νεια. 

Α_2 = (14.16, 7.64)
Β_2 = (15.92, 7.66)
a = Segment(Α_2, Β_2)
Γ_1 = (12.96, 3.94)
c = Circle(Γ_1, a)
Δ_1 = Point(c)
b = Segment(Δ_1, Γ_1)
Κ = (2.24, 4.34)
f = Line(Κ, yAxis)
Ι = Point(c)
Κ_1 = (12.9, 5.86)
k = CircleArc(Γ_1, Δ_1, Ι)
Λ_3 = Point(k)
h = Segment(Γ_1, Λ_3)
Μ_3 = (5.6, 5.52)
Ν = (5.48, 6.74)
Ξ = (5.56, 6.18)
i = Line(Ξ, xAxis)
j = Line(Ν, xAxis)
l = Line(Μ_3, xAxis)
Ο_2 = Point(l)
Π = Point(j)
Ρ = Point(i)
m_4 = Segment(Μ_3, Ο_2)
n = Segment(Ν, Π)
p = Segment(Ξ, Ρ)
d = Line(Κ, h)
e = Circle(Κ, p)
Ζ_2 = Intersect(e, d, 2)
Η_2 = (12, 5.22)
Θ_4 = (13.1, 4.46)
g = Circle(Η_2, Θ_4)
Σ = Point(g)
q = Segment(Σ, Η_2)
r = Line(Η_2, xAxis)
Τ = Intersect(g, r, 2)
α = Angle(Τ, Η_2, Σ)
Ε' = Rotate(Κ, (-α), Ζ_2)
s = Line(Ζ_2, Ε')
t = Circle(Ζ_2, n)
Υ = Intersect(t, s, 2)
a_1 = Segment(Ζ_2, Υ)
b_1 = Segment(Ζ_2, Κ)
c_1 = Line(Ζ_2, f)
d_1 = Line(Υ, c_1)
e_1 = Line(Υ, d)
f_1 = Line(Κ, s)
Φ = Intersect(e_1, f_1)
g_1 = Line(Φ, f)
h_1 = Segment(Υ, Φ)
i_1 = Segment(Φ, Κ)
j_1 = Segment(Κ, Ζ_2)
k_1 = Circle(Κ, m_4)
Χ = Intersect(k_1, f, 2)
l_1 = Line(Χ, f_1)
Ψ = Intersect(g_1, l_1)
m_1 = Line(Ψ, e_1)
Ω = Intersect(d_1, m_1)
n_1 = Line(Ω, s)
Α_1 = Intersect(c_1, n_1)
p_1 = Line(Α_1, d)
q_1 = Segment(Ζ_2, Α_1)
r_1 = Segment(Υ, Ω)
s_1 = Segment(Ω, Ψ)
t_1 = Segment(Ψ, Φ)
a_2 = Segment(Χ, Ψ)
b_2 = Segment(Φ, Κ)
c_2 = Segment(Κ, Ζ_2)
d_2 = Segment(Ζ_2, Α_1)
e_2 = Segment(Υ, Ζ_2)
f_2 = Segment(Υ, Φ)
g_2 = Segment(Α_1, Χ)
h_2 = Segment(Α_1, Ω)
i_2 = Segment(Χ, Κ)
l_2 = Segment(Υ, Ψ)
m_2 = Segment(Ω, Φ)
Ο_3 = Intersect(l_2, m_2)
r_2 = Line(Ο_3, r_1)
Δ = Intersect(r_2, s_1)
Ζ_3 = Intersect(r_2, h_1)
Ν_1 = Intersect(b_1, j_1)
Ξ_1 = Intersect(b_1, j_1)
Ο_1 = Intersect(b_1, j_1)
Ρ_1 = Intersect(b_1, j_1)
a_3 = Line(Α_1, Χ)
b_3 = Line(Ζ_2, Κ)
πολύγ2, α_1, χ, ε, ζ = Polygon(Α_1, Χ, Κ, Ζ_2)
πολύγ3, ω, ψ, φ, υ = Polygon(Ω, Ψ, Φ, Υ)
Φ_1 = (8.2, 4.08)
p_3 = Segment(Δ, Ζ_3)
Ε_1 = (4.24, 2.46)
Ι_1 = (9.72, 2.48)
Μ_1 = (4.22, 7.42)
Π_1 = (-0.86, 2.28)
Σ_1 = (-0.9, -2.8)
Τ_1 = (4.08, -2.78)
Υ_1 = (3.24, -0.88)
Γ_2 = (4.24, -2.7)
Δ_2 = (9.98, -2.7)
Ε_2 = (4.3, 2.28)
w: false
Θ_2 = Intersect(a_1, e_2)
Ι_2 = Intersect(b_1, j_1)
Κ_2 = Intersect(b_1, j_1)
Λ_2 = Intersect(a_1, e_2)
Μ_2 = Intersect(b_1, j_1)
Ν_2 = Intersect(a_1, b_1)
Ξ_2 = Intersect(q_1, d_2)
v_2: false
Μ = (3.46, -0.68)
r_3 = Line(Μ, h)
Α_4 = Point(r_3)
s_3 = Line(Α_4, yAxis)
Ρ_2 = Point(s_3)
z = Vector(Α_4, Ρ_2)
Σ_2 = Translate(Ρ_2, z)
Τ_2 = (8, 4)
Υ_2 = (6.6, 5.4)
Φ_2 = Translate(Υ_2, z)
Χ_2 = Translate(Ρ_2, Vector[(0, 0)])
Α_3 = (8.92, -1.36)
Γ = Point(r_3)
k_2 = Circle(Α_4, p_3)
j_2 = Line(Α_4, Ρ_2)
Ε_3 = Intersect(k_2, j_2, 2)
n_2 = Line(Ε_3, h)
p_2 = Line(Μ, j_2)
q_2 = Line(Γ, j_2)
Μ_4 = Intersect(n_2, p_2)
Ζ_1 = Intersect(n_2, q_2)
πολύγ1, β_1, γ, ζ_1, μ = Polygon(Μ, Γ, Ζ_1, Μ_4)
Η_4 = (6.2, -0.54)
Η_1 = (6.16, -2.7)
Θ_1 = (9.04, -2.66)
Λ_1 = (9.04, -0.52)
s_2 = Line(Α_4, yAxis)
Α = Point(r_3)
t_2 = Line(Α, yAxis)
Β = Point(t_2)
u = Vector(Α, Β)
Ω_1 = Translate(Β, u)
c_3 = Ray(Β, Ο_3)
Ο = Point(c_3)
d_3 = Ray(Α, Ο)
e_3 = Line(Ο, u)
Ε = Intersect(e_3, s_1)
Ψ_1 = Intersect(h_1, f_2)
Π_2 = Intersect(h_1, f_2)
Ζ = Intersect(e_3, h_1)
o: false
v: false
o_1: false
v_1: false
u_1 = false
f_3 = Line(Α, yAxis)
g_3 = Circle(Α, m_4)
Η = Intersect(g_3, f_3, 2)
h_3 = Ray(Η, Ε)
i_3 = Ray(Α, Ζ)
Β_3 = Intersect(g_2, α_1)
Γ_3 = Intersect(g_2, α_1)
Δ_3 = Intersect(g_2, α_1)
Η_3 = Intersect(b_1, j_1)
j_3 = Line(Ν_2, Κ)
Θ = Intersect(i_3, j_3)
k_3 = Line(Θ, yAxis)
Λ = Intersect(k_3, h_3)
l_3 = Segment(Θ, Λ)
m_3 = Segment(Λ, Η)
n_3 = Segment(Α, Θ)
q_3 = Segment(Α, Η)
a_4 = Segment(Ε, Ζ)
m, λ, η_2, α_2, θ = Polygon(Λ, Η, Α, Θ)
t_3 = Segment(Α, Θ)
b_4 = Segment(Η, Λ)
c_4 = Segment(Λ, Θ)
d_4 = Line(Θ, Λ)
Α' = Intersect(d_4, d_3)
Β' = Intersect(d_4, c_3)
v_4 = Vector(Α', Β')
Ω_2 = Translate(Β', v_4)
e_4 = Segment(Θ, Λ)
f_4 = Segment(Α, Α')
g_4 = Segment(Β, Β')
Β_1 = (6.14, 7.2)
Χ_1 = (6.16, 5.14)
Ψ_2 = (9.06, 7.22)
Θ_3 = (9.06, 5.16)
w_1: x(Κ)
Κ_3 = (8.88, 3.84)
h_4 = Ray(Η, Ε)
i_4 = Ray(Α, Ζ)
j_4 = Line(Θ, Λ)
k_4 = Line(Ζ, Ε)
Ι_3 = (5.844, -5.32)
Ν_3 = (8.46, -5.32)