Φυσική Α΄ Λυκείου - Μάθημα 8Β (Εισαγωγή στα Διανύσματα)

💡 Γιατί χρειαζόμαστε τα Διανύσματα;

Αν κάποιος σας πει «σπρώχνω ένα κιβώτιο με δύναμη 10 N», η πληροφορία είναι ελλιπής! Σπρώχνει προς τα δεξιά, προς τα αριστερά, ή προς τα πάνω; Για μεγέθη όπως η **δύναμη**, η **ταχύτητα** και η **μετατόπιση**, δεν αρκεί μόνο ένας αριθμός — χρειάζεται και κατεύθυνση.

1. Μονόμετρα vs Διανυσματικά Μεγέθη

Μονόμετρα Μεγέθη

Περιγράφονται **πλήρως μόνο από έναν αριθμό** και τη μονάδα μέτρησης.

Παραδείγματα: Μάζα (m = 5 kg), Χρόνος (t = 10 s), Θερμοκρασία (T = 25°C).

Διανυσματικά Μεγέθη

Απαιτούν **τιμή (μέτρο) ΚΑΙ κατεύθυνση** (διεύθυνση & φορά).

Παραδείγματα: Δύναμη (F), Ταχύτητα (v), Επιτάχυνση (a), Μετατόπιση (Δx).

2. Τα 4 Χαρακτηριστικά ενός Διανύσματος

Στη Φυσική, ένα διάνυσμα το σχεδιάζουμε ως ένα προσανατολισμένο βέλος:

Αρχή / Σημείο Εφαρμογής (A): Το σημείο στο οποίο ασκείται το μέγεθος (π.χ. το σώμα).
Μέτρο: Το **μήκος του βέλους**. Εκφράζει την τιμή του μεγέθους (συμβολίζεται ως |A| ή απλά A).
Διεύθυνση: Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το βέλος (π.χ. οριζόντια, κατακόρυφη).
Φορά: Η αιχμή του βέλους (π.χ. προς τα δεξιά, προς τα αριστερά, πάνω, κάτω).

3. Σχέσεις μεταξύ Διανυσμάτων

Όταν συγκρίνουμε δύο διανύσματα A και B στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες:

Ορος	Χαρακτηριστικά	Σχηματική Εικόνα / Σχέση
Ομόρροπα	Έχουν ίδια διεύθυνση και ίδια φορά.	A ⇈ B (Κοιτούν προς το ίδιο μέρος)
Αντίρροπα	Έχουν ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά.	A ⇅ B (Κοιτούν σε αντίθετα μέρη)
Ίσα Διανύσματα	Έχουν ίδιο μέτρο ΚΑΙ ίδια φορά.	A = B (Ίδιο μήκος, ίδια κατεύθυνση)
Αντίθετα Διανύσματα	Έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά.	A = -B (Ίδιο μήκος, αντίθετη αιχμή)

4. Πράξεις Διανυσμάτων στην ίδια Ευθεία (Σύνθεση)

Όταν δύο διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία, η **πρόσθεση/αφαίρεσή** τους δίνει το **Συνιστάμενο Διάνυσμα (R)**:

1. Ομόρροπα Διανύσματα (Πρόσθεση)

Προσθέτουμε τα μέτρα τους:

R = A + B

Η φορά του R είναι η ίδια με των A και B.

2. Αντίρροπα Διανύσματα (Αφαίρεση)

Αφαιρούμε τα μέτρα τους:

R = A - B (αν A > B)

Η φορά του R είναι ίδια με του μεγαλύτερου.

⚠️ Προσοχή! Διανυσματική vs Αλγεβρική Πρόσθεση

Στα διανύσματα 5 + 3 δεν κάνει πάντα 8! Αν δύο δυνάμεις F₁ = 5 N και F₂ = 3 N είναι αντίρροπες, το αποτέλεσμα είναι 5 - 3 = 2 N. Η κατεύθυνση καθορίζει την πράξη!

📝 Ασκήσεις Κατανοήσεως (Θέμα Α)

Συμπληρώστε τα κενά:
α) Τα μεγέθη που περιγράφονται πλήρως από μέτρο και κατεύθυνση ονομάζονται ........................ .
β) Το μήκος του βέλους ενός διανύσματος παριστάνει το ........................ του.
γ) Δύο διανύσματα που έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά ονομάζονται ........................ .
Χαρακτηρίστε τις προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ):
α) Η μάζα ενός σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος.
β) Η συνισταμένη δύο ομόρροπων διανυσμάτων έχει μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων τους.
γ) Αν δύο αντίρροπα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα, η συνισταμένη τους είναι μηδέν.

ΘΕΜΑ Β: Υπολογιστικές Ασκήσεις & Εφαρμογές Διανυσμάτων

Σύνθεση Διανυσμάτων στην ίδια Ευθεία:
Δίνονται τα οριζόντια διανύσματα A = 8 μονάδες (δεξιά), B = 5 μονάδες (δεξιά) και C = 9 μονάδες (αριστερά).
α) Υπολογίστε τη συνισταμένη R₁ των ομόρροπων διανυσμάτων A και B.
β) Υπολογίστε τη συνολική συνισταμένη R = A + B + C των τριών διανυσμάτων.
γ) Ποια είναι η τελική φορά της συνισταμένης R;
Εύρεση Άγνωστου Διανύσματος:
Σε ένα σώμα ασκείται διάνυσμα F₁ = 12 N προς τα δεξιά. Θέλουμε η συνολική συνισταμένη να είναι R = 4 N προς τα αριστερά.
α) Το δεύτερο διάνυσμα F₂ πρέπει να έχει φορά προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;
β) Υπολογίστε το μέτρο του διανύσματος F₂.

🔑 Αναλυτικές Λύσεις (Για Αυτοέλεγχο)

Λύση Θέματος Α

1. Συμπλήρωση Κενών:
• α) Ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.
• β) Παριστάνει το μέτρο (τιμή) του.
• γ) Ονομάζονται αντίθετα διανύσματα.

2. Σωστό / Λάθος:
• α) Λάθος. Η μάζα είναι μονόμετρο μέγεθος (δεν έχει κατεύθυνση).
• β) Σωστό. Στα ομόρροπα ισχύει R = A + B.
• γ) Σωστό. Εφόσον έχουν αντίθετη φορά και ίσα μέτρα: R = A - A = 0.

Λύση Θέματος Β

3. Σύνθεση 3 Διανυσμάτων:
• α) Επειδή τα A, B είναι ομόρροπα (δεξιά): R₁ = A + B = 8 + 5 = 13 μονάδες (προς τα δεξιά).
• β) Το C είναι αντίρροπο (αριστερά), οπότε αφαιρείται: R = R₁ - C = 13 - 9 = 4 μονάδες.
• γ) Επειδή R₁ > C (13 > 9), η τελική συνισταμένη R έχει φορά προς τα δεξιά.

4. Εύρεση Άγνωστου Διανύσματος F₂:
• α) Αφού η F₁ είναι 12 N δεξιά και θέλουμε το τελικό αποτέλεσμα να είναι προς τα αριστερά, η F₂ πρέπει οπωσδήποτε να έχει φορά προς τα αριστερά και να είναι μεγαλύτερη από την F₁.
• β) Για αντίρροπα διανύσματα ισχύει: R = F₂ - F₁ ➔ 4 N = F₂ - 12 N ➔ F₂ = 12 N + 4 N = 16 N.
Άρα το διάνυσμα F₂ έχει μέτρο 16 N και φορά προς τα αριστερά.

Φυσική Α΄ Λυκείου — Μάθημα 8Β