(4701030354) -  ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΑΚΗΣ

Περιγραφή Μαθήματος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3ο Πειραματικό Γυμνάσιο Φλώρινας | Σχολικό έτος 2026–2027

«Τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο αριθμοί. Είναι ένας τρόπος να βλέπουμε τον κόσμο.»

 

Καλώς ήρθες στο e-class των Μαθηματικών της Β΄ Γυμνασίου!
Εδώ δεν θα μάθουμε μόνο τύπους. Θα πειραματιστούμε, θα λύσουμε προβλήματα, θα κάνουμε λάθη, θα τα διορθώσουμε και θα ανακαλύψουμε πού κρύβονται τα Μαθηματικά γύρω μας.
Στο μάθημα θα βρεις θεωρία, παραδείγματα, φύλλα εργασίας, quiz, γρίφους, αποστολές και projects. Κάθε κεφάλαιο έχει το δικό του Math Challenge.
Μικρά βήματα → μεγάλες ιδέες → περισσότερη αυτοπεποίθηση.
Καλή μαθηματική εξερεύνηση!

3ο Πειραματικό Γυμνάσιο Φλώρινας
Σχολικό έτος 2026–2027

📌 Ανακοινώσεις

📘 Θεωρία & Παρουσιάσεις

🧮 Άλγεβρα — Κεφάλαια 1–4

📐 Γεωμετρία — Κεφάλαια 1–4

📝 Φύλλα εργασίας

🎮 Quiz & αυτοαξιολόγηση

🧩 Γρίφος της εβδομάδας

🔬 Math Lab / Projects

📊 Στατιστική έρευνα

🏆 Challenges

📥 Εργασίες μαθητών

🧠 Επαναλήψεις

📝 Τεστ

🎯 Exit Tickets

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΔΟΜΗ e-class

 

ΑΛΓΕΒΡΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 — ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 — ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 — ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 — ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 — ΕΜΒΑΔΑ & ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 — ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ & ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 — ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

8. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 — ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ & ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΤΕΡΕΩΝ

9. Επαναλήψεις — διαγνωστικά, ενδιάμεσα και τελικά τεστ

10. Math Lab Φλώρινας — projects και διαθεματικές δράσεις

11. Exit Tickets — αυτοαξιολόγηση

12. Τράπεζα γρίφων — εβδομαδιαίος γρίφος

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 — ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Από το «δεν ξέρω» στο «μπορώ να το βρω». Μαθαίνουμε να μεταφράζουμε μια κατάσταση σε μαθηματική σχέση.

Α. Αναλυτική θεωρία

1.1 Μεταβλητές και αλγεβρικές παραστάσεις

Μια μεταβλητή είναι ένα γράμμα που παριστάνει έναν αριθμό, π.χ. x. Μια αλγεβρική παράσταση συνδυάζει αριθμούς, μεταβλητές και πράξεις. Η τιμή της παράστασης εξαρτάται από την τιμή της μεταβλητής.
Παράδειγμα: Για 3x+5 και x=4 έχουμε 3·4+5=17.
Πρόσεχε: 2x σημαίνει 2·x και όχι 2+x. Όταν αντικαθιστούμε μια μεταβλητή, χρησιμοποιούμε παρενθέσεις όπου χρειάζεται.

1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει άγνωστο. Λύση είναι η τιμή που κάνει την ισότητα αληθή.
Βασική αρχή: κάνουμε την ίδια πράξη και στα δύο μέλη. Στόχος είναι να απομονώσουμε τον άγνωστο.
Παράδειγμα: 3x+5=20 → 3x=15 → x=5. Έλεγχος: 3·5+5=20.

1.3 Επίλυση τύπων

Όταν ένας τύπος συνδέει πολλά μεγέθη, μπορούμε να λύσουμε ως προς οποιοδήποτε από αυτά. Για παράδειγμα, από A=bh/2 προκύπτει h=2A/b, όταν b≠0. Η διαδικασία είναι η ίδια: εφαρμόζουμε ισοδύναμες πράξεις και στα δύο μέλη.

1.4 Προβλήματα με εξισώσεις

Βήματα: (α) ορίζω τον άγνωστο, (β) μεταφράζω την πληροφορία σε εξίσωση, (γ) λύνω, (δ) ελέγχω αν η λύση ταιριάζει στο πρόβλημα και στις μονάδες.

1.5 Ανισώσεις α΄ βαθμού

Η ανίσωση χρησιμοποιεί σύμβολα <, >, ≤, ≥. Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε μια ανίσωση με αρνητικό αριθμό, αλλάζει φορά το σύμβολο.
Παράδειγμα: -2x>6 → x<-3.

Β. Παραδείγματα

• Παράδειγμα 1: Ένα τετράδιο κοστίζει x ευρώ. Τρία τετράδια και ένα μολύβι 2€ κοστίζουν 11€. Τότε 3x+2=11 και x=3.

• Παράδειγμα 2: Η ηλικία ενός γονέα είναι 4 φορές η ηλικία του παιδιού και μαζί είναι 50. Αν x η ηλικία του παιδιού, x+4x=50 → x=10.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 1 — Escape Equation: Λύσε 5 εξισώσεις για να πάρεις τα ψηφία ενός κωδικού.

• Δραστηριότητα 2 — Η τιμή του αγνώστου: Βρες x ώστε 2x+7=25, 5x−3=22, 4(x−2)=20.

• Δραστηριότητα 3 — Μαθηματικό supermarket: Δημιούργησε πρόβλημα αγοράς που λύνεται με εξίσωση.

• Δραστηριότητα 4 — Σωστό ή λάθος; Διόρθωσε τη λύση: 2x+6=18 → x=12.

• Δραστηριότητα 5 — Ανισότητα στην καθημερινότητα: Πόσα χρήματα μπορώ να ξοδέψω αν έχω 25€ και θέλω να κρατήσω τουλάχιστον 7€;

• Δραστηριότητα 6 — Formula Doctor: Από A=bh/2 λύσε ως προς b και h.

• Δραστηριότητα 7 — Δύο τρόποι: Λύσε 3(x+2)=21 με δύο διαφορετικές διαδρομές και σύγκρινε.

• Δραστηριότητα 8 — Φτιάξε τη δική σου εξίσωση και δώσε την σε συμμαθητή.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 1
Α. Υπολόγισε για x=−2: 3x²−2x+5.
Β. Λύσε: 5x−7=18, 2(x+4)=18, 7−3x=19.
Γ. Ένα ταξί χρεώνει 4€ αρχική χρέωση και 1,50€ ανά χιλιόμετρο. Αν πληρώσαμε 16€, πόσα χιλιόμετρα διανύσαμε;
Δ. Βρες όλους τους ακέραιους x που ικανοποιούν 3x+2≤14.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 1
1. Η λύση της 4x=28 είναι: α) 6 β) 7 γ) 8 δ) 9.
2. Στην -3x>12: α) x>−4 β) x<−4 γ) x>4 δ) x<4.
3. Το 5a όταν a=3 είναι: α) 8 β) 15 γ) 53 δ) 2.
4. Για να λύσω μια εξίσωση μπορώ να κάνω την ίδια πράξη και στα δύο μέλη. (Σ/Λ)
5. Όταν διαιρώ ανίσωση με αρνητικό αριθμό, αλλάζω φορά. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1β, 2β, 3β, 4Σ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Σκέφτομαι έναν αριθμό. Τον διπλασιάζω, προσθέτω 8 και παίρνω 30. Ποιος είναι;

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 1 — «Μια εξίσωση από τη ζωή μου»
Βρες ένα πραγματικό πρόβλημα από το σπίτι, το σχολείο, τις αγορές ή τον αθλητισμό που μπορεί να μοντελοποιηθεί με εξίσωση. Παρουσίασε: ιστορία, μεταβλητή, εξίσωση, λύση, έλεγχο.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 1 — 20 μονάδες
1. (4) Απλοποίησε/υπολόγισε δύο αλγεβρικές παραστάσεις.
2. (5) Λύσε δύο εξισώσεις α΄ βαθμού.
3. (4) Λύσε μία ανίσωση και παρίστανε τη λύση στον άξονα.
4. (4) Λύσε πρόβλημα ηλικιών με εξίσωση.
5. (3) Λύσε έναν τύπο ως προς ζητούμενο μέγεθος.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 — ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Από τη ρίζα στην έννοια του πραγματικού αριθμού: εξερευνούμε αριθμούς που δεν γράφονται ως κλάσμα δύο ακεραίων.

Α. Αναλυτική θεωρία

2.1 Τετραγωνική ρίζα

Η √a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a, για a≥0. Έτσι √49=7 και √0=0. Για θετικό a, √a·√a=a.

2.2 Άρρητοι και πραγματικοί αριθμοί

Ρητός είναι αριθμός που γράφεται ως κλάσμα ακεραίων με μη μηδενικό παρονομαστή. Άρρητος είναι πραγματικός αριθμός που δεν γράφεται έτσι, όπως √2. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από ρητούς και άρρητους.

2.3 Προβλήματα

Οι ρίζες εμφανίζονται σε μήκη, γεωμετρία, αποστάσεις και τύπους. Σε κάθε αποτέλεσμα ελέγχουμε αν είναι λογικό ως προς το πρόβλημα.

Β. Παραδείγματα

• √81=9, επειδή 9²=81.

• Το √2 είναι μεταξύ 1 και 2, επειδή 1²<2<2².

• Σε τετράγωνο πλευράς 5 cm, η διαγώνιος είναι 5√2 cm.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 9 — Κυνήγι ριζών: Βρες 10 αντικείμενα/μετρήσεις όπου θα μπορούσε να εμφανιστεί τετραγωνική ρίζα.

• Δραστηριότητα 10 — √2 στον άξονα: Κατασκεύασε γεωμετρικά μήκος √2.

• Δραστηριότητα 11 — Ρητός ή άρρητος; Ταξινόμησε: 0,25, √9, √5, π, −7/3.

• Δραστηριότητα 12 — Εκτίμηση χωρίς κομπιουτεράκι: Μεταξύ ποιων διαδοχικών ακεραίων βρίσκεται √70;

• Δραστηριότητα 13 — Μαθηματική φωτογραφία: Βρες ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε κτίριο/αντικείμενο και εξήγησε πού θα εμφανιστεί ρίζα.

• Δραστηριότητα 14 — Root Challenge: Δημιούργησε μια ερώτηση που έχει ως απάντηση √13.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 2
Α. Υπολόγισε: √16, √121, √225.
Β. Συμπλήρωσε: 7²=__, √196=__.
Γ. Βάλε σε αύξουσα σειρά: √3, 1,5, √2, 2.
Δ. Δείξε ότι √50 βρίσκεται μεταξύ 7 και 8.
Ε. Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 144 cm². Βρες την πλευρά του.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 2
1. √64= α) 6 β) 7 γ) 8 δ) 9.
2. √2 είναι: α) ακέραιος β) ρητός γ) άρρητος δ) φυσικός.
3. √100=10. (Σ/Λ)
4. √25=−5. (Σ/Λ)
5. Οι πραγματικοί περιλαμβάνουν ρητούς και άρρητους. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1γ, 2γ, 3Σ, 4Λ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Ποιος θετικός αριθμός έχει τετράγωνο 144 αλλά δεν είναι το 12; (Σκέψου προσεκτικά τι ζητά η εκφώνηση.)

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 2 — «Ο χάρτης των ριζών»
Φτιάξε μία αφίσα ή ψηφιακή παρουσίαση με 5 πραγματικές εφαρμογές τετραγωνικών ριζών.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 2 — 20 μονάδες
1. (5) Υπολογισμοί και απλές ιδιότητες ριζών.
2. (4) Ταξινόμηση αριθμών.
3. (4) Εκτιμήσεις ριζών.
4. (4) Γεωμετρικό πρόβλημα.
5. (3) Ερώτηση κατανόησης για ρητούς/άρρητους.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 — ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που συνδέει κάθε επιτρεπτή τιμή του x με μία τιμή του y.

Α. Αναλυτική θεωρία

3.1 Η έννοια της συνάρτησης

Μπορούμε να δούμε μια συνάρτηση ως μηχανή: βάζω x, εφαρμόζεται ένας κανόνας και παίρνω y. Παράδειγμα y=2x+1. Για x=3 παίρνουμε y=7.

3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες

Στο επίπεδο χρησιμοποιούμε άξονες x και y. Το σημείο Α(x,y) έχει οριζόντια συντεταγμένη x και κατακόρυφη y. Η γραφική παράσταση είναι το σύνολο των σημείων που ικανοποιούν τη σχέση.

3.3 y=αx

Η γραφική παράσταση της y=αx είναι ευθεία που περνά από την αρχή Ο(0,0). Ο α καθορίζει την κλίση: όσο μεγαλύτερος είναι θετικός α, τόσο πιο απότομα ανεβαίνει η ευθεία.

3.4 y=αx+β

Η ευθεία y=αx+β έχει κλίση α και τέμνει τον άξονα y στο β. Για α=0 έχουμε οριζόντια ευθεία y=β.

3.5 y=α/x

Για α≠0, η σχέση y=α/x περιγράφει υπερβολή. Όσο αυξάνει το x σε απόλυτη τιμή, μειώνεται η απόλυτη τιμή του y.

Β. Παραδείγματα

• Πίνακας y=2x+1: x=0→1, x=1→3, x=2→5.

• Για y=3x−2, όταν x=0, y=−2, άρα η ευθεία τέμνει τον y-άξονα στο −2.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 15 — Function Machine: Φτιάξε «μηχανή» για y=3x−2.

• Δραστηριότητα 16 — Συντεταγμένες στην τάξη: Κάνε την αίθουσα καρτεσιανό επίπεδο και τοποθέτησε σημεία.

• Δραστηριότητα 17 — Graph Detective: Από 3 γραφικές παραστάσεις βρες ποια αντιστοιχεί σε y=2x+1.

• Δραστηριότητα 18 — Taxi Graph: Δημιούργησε γραφική παράσταση κόστους ταξί με αρχική χρέωση.

• Δραστηριότητα 19 — Αλλαγή κλίσης: Σύγκρινε y=x, y=2x και y=0,5x.

• Δραστηριότητα 20 — Hyperbola Hunt: Βρες παράδειγμα αντίστροφης αναλογίας από την καθημερινότητα.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 3
Α. Συμπλήρωσε πίνακα για y=3x+2 με x=−2,−1,0,1,2.
Β. Βρες τις συντεταγμένες των σημείων που ικανοποιούν y=2x.
Γ. Για y=4x−5 βρες το y όταν x=3 και το x όταν y=7.
Δ. Σχεδίασε τις y=x και y=−x.
Ε. Δώσε ένα παράδειγμα σχέσης που μοιάζει με y=α/x.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 3
1. Η y=2x περνά από: α) (0,2) β) (1,2) γ) (0,0) δ) (2,0).
2. Στη y=3x+5 το 5 είναι: α) κλίση β) τεταγμένη τομής με y γ) x δ) μεταβλητή.
3. Η y=x είναι αύξουσα. (Σ/Λ)
4. Η y=5 είναι οριζόντια ευθεία. (Σ/Λ)
5. Στη y=α/x, το x δεν μπορεί να είναι 0. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1γ, 2β, 3Σ, 4Σ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Ένα ταξί ξεκινά από 3€ και κοστίζει 2€ ανά χιλιόμετρο. Ποιος τύπος περιγράφει το κόστος;

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 3 — «Η πόλη σε γράφημα»
Διάλεξε μια πραγματική σχέση (κόστος–ποσότητα, χρόνος–απόσταση, θερμοκρασία–ώρα κ.ά.), δημιούργησε πίνακα τιμών και γραφική παράσταση και γράψε 5 συμπεράσματα.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 3 — 20 μονάδες
1. (4) Συμπλήρωση πίνακα συνάρτησης.
2. (4) Συντεταγμένες.
3. (4) Γραφική παράσταση y=αx.
4. (4) Ερμηνεία y=αx+β.
5. (4) Πρόβλημα πραγματικής εφαρμογής.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 — ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μετατρέπουμε δεδομένα σε πληροφορία: συλλογή, οργάνωση, γραφήματα και συμπεράσματα.

Α. Αναλυτική θεωρία

4.1 Πληθυσμός και δείγμα

Πληθυσμός είναι το σύνολο που μας ενδιαφέρει. Δείγμα είναι ένα μέρος του πληθυσμού που μελετάμε. Το δείγμα πρέπει να είναι όσο γίνεται αντιπροσωπευτικό.

4.2 Γραφικές παραστάσεις

Χρησιμοποιούμε ραβδογράμματα, κυκλικά διαγράμματα, ιστογράμματα ή γραμμικές παραστάσεις ανάλογα με τα δεδομένα και τον στόχο.

4.3 Συχνότητες

Συχνότητα είναι πόσες φορές εμφανίζεται μια τιμή. Σχετική συχνότητα είναι το ποσοστό του συνόλου που αντιστοιχεί στην τιμή.

4.4 Ομαδοποίηση

Όταν υπάρχουν πολλές αριθμητικές τιμές, μπορούμε να τις ομαδοποιήσουμε σε διαστήματα, ώστε να αναδειχθούν τάσεις.

4.5 Μέση τιμή και διάμεσος

Μέση τιμή = άθροισμα παρατηρήσεων / πλήθος παρατηρήσεων. Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή όταν τα δεδομένα ταξινομηθούν.

Β. Παραδείγματα

• Δεδομένα 4, 5, 5, 6, 10 → μέση τιμή 30/5=6 και διάμεσος 5.

• Αν σε 20 μαθητές οι 8 προτιμούν ποδόσφαιρο, η σχετική συχνότητα είναι 8/20=40%.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 21 — Mini Survey: Κάνε έρευνα στην τάξη για αγαπημένο άθλημα.

• Δραστηριότητα 22 — Data Journalist: Παρουσίασε τα αποτελέσματα με δύο διαφορετικά γραφήματα.

• Δραστηριότητα 23 — Μέση τιμή vs διάμεσος: Βάλε μια ακραία τιμή και δες ποιο μέτρο αλλάζει περισσότερο.

• Δραστηριότητα 24 — Fake Graph Detector: Βρες πώς μια παραπλανητική κλίμακα μπορεί να αλλοιώσει την εικόνα.

• Δραστηριότητα 25 — Στατιστική Φλώρινας: Σχεδίασε έρευνα για θερμοκρασίες, μετακινήσεις ή αθλητικές συνήθειες.

• Δραστηριότητα 26 — Data Story: Γράψε ιστορία 150 λέξεων που βασίζεται σε έναν πίνακα δεδομένων.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 4
Δεδομένα: 2,3,3,4,4,4,5,6,9.
Α. Βρες πλήθος παρατηρήσεων.
Β. Βρες μέση τιμή και διάμεσο.
Γ. Βρες τη συχνότητα του 4.
Δ. Αν προσθέσουμε το 20, ποιο μέτρο επηρεάζεται περισσότερο;
Ε. Πρότεινε κατάλληλο γράφημα.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 4
1. Η μέση τιμή υπολογίζεται με: α) μεγαλύτερη−μικρότερη β) άθροισμα/πλήθος γ) πλήθος/άθροισμα.
2. Η διάμεσος απαιτεί ταξινόμηση των δεδομένων. (Σ/Λ)
3. Η σχετική συχνότητα μπορεί να εκφραστεί ως ποσοστό. (Σ/Λ)
4. Το δείγμα είναι πάντα όλος ο πληθυσμός. (Σ/Λ)
5. Ραβδόγραμμα είναι χρήσιμο για κατηγορικές συχνότητες. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1β, 2Σ, 3Σ, 4Λ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Ποιο από τα 1, 2, 3, 100 επηρεάζει περισσότερο τη μέση τιμή και γιατί;

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 4 — «Οι αριθμοί μιλούν»
Σχεδίασε μια μικρή έρευνα με τουλάχιστον 20 απαντήσεις. Παρουσίασε πίνακα συχνοτήτων, ένα γράφημα, μέση τιμή ή/και διάμεσο και τρία συμπεράσματα.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 4 — 20 μονάδες
1. (4) Πληθυσμός/δείγμα.
2. (4) Πίνακας συχνοτήτων.
3. (4) Σχετική συχνότητα.
4. (4) Μέση τιμή και διάμεσος.
5. (4) Ερμηνεία γραφήματος.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 — ΕΜΒΑΔΑ & ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Μετράμε επιφάνειες, μετατρέπουμε μονάδες και συνδέουμε τη γεωμετρία με το περίφημο θεώρημα του Πυθαγόρα.

Α. Αναλυτική θεωρία

5.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

Το εμβαδόν μετρά πόσο χώρο καλύπτει μια επίπεδη επιφάνεια. Μονάδα SI είναι το m².

5.2 Μονάδες επιφανειών

1 m²=10.000 cm² και 1 cm²=100 mm². Στις μετατροπές επιφανειών ο συντελεστής είναι το τετράγωνο του συντελεστή μήκους.

5.3 Εμβαδά σχημάτων

Ορθογώνιο: A=ab. Παραλληλόγραμμο: A=bh. Τρίγωνο: A=bh/2. Τραπέζιο: A=(B+b)h/2.

5.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές α,β και υποτείνουσα γ ισχύει α²+β²=γ². Το χρησιμοποιούμε για άγνωστη πλευρά ή για έλεγχο αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Β. Παραδείγματα

• Τρίγωνο με κάθετες πλευρές 6 και 8 έχει υποτείνουσα √(36+64)=10.

• Ορθογώνιο 4m×7m έχει εμβαδόν 28m².

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 27 — Μέτρησε την αίθουσα: υπολόγισε εμβαδόν δαπέδου.

• Δραστηριότητα 28 — Pythagoras Challenge: Βρες άγνωστη διαγώνιο σε ορθογώνιο.

• Δραστηριότητα 29 — Μονάδες χωρίς λάθη: Κάρτες αντιστοίχισης cm², m², mm².

• Δραστηριότητα 30 — Design a Park: Σχεδίασε πάρκο με 3 σχήματα και υπολόγισε συνολικό εμβαδόν.

• Δραστηριότητα 31 — Είναι ορθογώνιο; Έλεγξε πλευρές 7,24,25 και 6,8,11.

• Δραστηριότητα 32 — Pythagoras in Florina: βρες μια πραγματική απόσταση που μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ορθογώνιο τρίγωνο.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 5
Α. Υπολόγισε εμβαδά ορθογωνίου 8×3, τριγώνου βάσης 10 και ύψους 6, τραπεζίου με βάσεις 5 και 9 και ύψος 4.
Β. Μετέτρεψε 3 m² σε cm².
Γ. Βρες την υποτείνουσα με κάθετες πλευρές 9 και 12.
Δ. Βρες κάθετη πλευρά όταν υποτείνουσα 13 και άλλη κάθετη 5.
Ε. Έλεγξε αν πλευρές 8,15,17 σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 5
1. Εμβαδόν ορθογωνίου 5×4: α)9 β)18 γ)20 δ)25.
2. 1m²= α)100cm² β)1000cm² γ)10.000cm² δ)1.000.000cm².
3. Στο Πυθαγόρειο η γ είναι η υποτείνουσα. (Σ/Λ)
4. 6²+8²=10². (Σ/Λ)
5. Το εμβαδόν μετριέται σε μονάδες μήκους. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1γ, 2γ, 3Σ, 4Σ, 5Λ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 5 και 12. Χωρίς κομπιουτεράκι, βρες την υποτείνουσα.

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 5 — «Το σχολείο ως μαθηματικό εργαστήριο»
Μετρήστε ή εκτιμήστε διαστάσεις ενός χώρου του σχολείου, υπολογίστε εμβαδά και παρουσιάστε ένα απλό σχέδιο με κλίμακα.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 5 — 20 μονάδες
1. (4) Μετατροπές μονάδων.
2. (4) Εμβαδά επίπεδων σχημάτων.
3. (4) Πυθαγόρειο με εύρεση υποτείνουσας.
4. (4) Πυθαγόρειο με εύρεση κάθετης πλευράς.
5. (4) Σύνθετο πρόβλημα.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 — ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ & ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Χρησιμοποιούμε λόγους πλευρών για να μελετήσουμε γωνίες και αναπαριστούμε ποσότητες με κατεύθυνση και μέτρο.

Α. Αναλυτική θεωρία

6.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, εφ(γωνίας)=απέναντι κάθετη / προσκείμενη κάθετη. Η σχέση επιτρέπει να υπολογίζουμε πλευρές ή γωνίες.

6.2 Ημίτονο και συνημίτονο

ημ(γωνίας)=απέναντι κάθετη/υποτείνουσα και συν(γωνίας)=προσκείμενη κάθετη/υποτείνουσα.

6.3 Μεταβολές τριγωνομετρικών αριθμών

Για οξείες γωνίες, καθώς η γωνία αυξάνει, το ημίτονο και η εφαπτομένη αυξάνουν, ενώ το συνημίτονο μειώνεται.

6.4 Γωνίες 30°,45°,60°

Χρησιμοποιούμε γνωστές τιμές: ημ30°=1/2, συν30°=√3/2, εφ30°=√3/3· ημ45°=συν45°=√2/2, εφ45°=1· ημ60°=√3/2, συν60°=1/2, εφ60°=√3.

6.5–6.7 Διανύσματα

Διάνυσμα έχει μέτρο και κατεύθυνση. Το άθροισμα μπορεί να γίνει με κανόνα τριγώνου ή παραλληλογράμμου. Ένα διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετες συνιστώσες.

Β. Παραδείγματα

• Σε τρίγωνο με απέναντι 3 και προσκείμενη 4, εφθ=3/4.

• Για γωνία 30° και υποτείνουσα 10, απέναντι πλευρά=10·ημ30°=5.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 33 — Μέτρησε ύψος δέντρου με σκιά και εφαπτομένη.

• Δραστηριότητα 34 — Trig Memory: αντιστοίχισε γωνίες 30°,45°,60° με τιμές.

• Δραστηριότητα 35 — Γωνία χωρίς μοιρογνωμόνιο: εκτίμησε γωνία και έλεγξέ την.

• Δραστηριότητα 36 — Vector Walk: αναπαράστησε διαδρομή 3 βήματα ανατολικά και 4 βόρεια ως διάνυσμα.

• Δραστηριότητα 37 — Συνιστώσες: σχεδίασε ένα διάνυσμα και ανέλυσέ το σε οριζόντια/κατακόρυφη συνιστώσα.

• Δραστηριότητα 38 — Pythagoras + Trig: συνδύασε Πυθαγόρειο και τριγωνομετρία σε ένα πρόβλημα.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 6
Α. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3,4,5 βρες ημ, συν, εφ της γωνίας απέναντι από την πλευρά 3.
Β. Συμπλήρωσε τις γνωστές τιμές 30°,45°,60°.
Γ. Για υποτείνουσα 20 και γωνία 30°, βρες την απέναντι πλευρά.
Δ. Σχεδίασε δύο διανύσματα και το άθροισμά τους.
Ε. Ανάλυσε ένα διάνυσμα μέτρου 5 με κάθετες συνιστώσες 3 και 4.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 6
1. ημ30°= α)1/2 β)√2/2 γ)√3/2.
2. συν60°= α)1/2 β)√2/2 γ)√3/2.
3. εφ45°=1. (Σ/Λ)
4. Το διάνυσμα έχει μόνο μέτρο. (Σ/Λ)
5. Οι συνιστώσες μπορούν να είναι κάθετες. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1α, 2α, 3Σ, 4Λ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο η απέναντι πλευρά είναι ίση με την προσκείμενη, ποια είναι η γωνία;

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 6 — «Μετρώ κάτι που δεν μπορώ να φτάσω»
Χρησιμοποίησε φωτογραφία ή πραγματική μέτρηση για να εκτιμήσεις το ύψος ενός δέντρου/κτιρίου με αναλογία ή τριγωνομετρική ιδέα. Παρουσίασε βήματα και σχήμα.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 6 — 20 μονάδες
1. (4) Εφαπτομένη.
2. (4) Ημίτονο/συνημίτονο.
3. (4) Γωνίες 30°,45°,60°.
4. (4) Διανύσματα και άθροισμα.
5. (4) Συνδυαστικό πρόβλημα.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 — ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

Ο κύκλος συνδέει γεωμετρία, γωνίες και εφαρμογές από ρολόγια μέχρι τροχούς.

Α. Αναλυτική θεωρία

7.1 Εγγεγραμμένες γωνίες

Εγγεγραμμένη γωνία έχει κορυφή πάνω στον κύκλο. Η σχέση της με το αντίστοιχο τόξο επιτρέπει γεωμετρικούς υπολογισμούς.

7.2 Κανονικά πολύγωνα

Κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Η συμμετρία του συνδέεται με τον κύκλο.

7.3 Μήκος κύκλου

L=2πr=πd.

7.4 Μήκος τόξου

Για κεντρική γωνία θ σε μοίρες, μήκος τόξου = (θ/360°)·2πr.

7.5–7.6 Εμβαδά κύκλου και τομέα

Εμβαδόν κυκλικού δίσκου A=πr². Εμβαδόν κυκλικού τομέα = (θ/360°)·πr².

Β. Παραδείγματα

• Κύκλος ακτίνας 5 cm: μήκος=10π cm και εμβαδόν=25π cm².

• Τόξο 90° είναι το 1/4 του κύκλου.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 39 — Wheel Lab: Μέτρησε διάμετρο τροχού και υπολόγισε απόσταση ανά περιστροφή.

• Δραστηριότητα 40 — Pizza Math: Τι ποσοστό της πίτσας είναι ένα κομμάτι 45°;

• Δραστηριότητα 41 — Σχεδίασε κανονικό εξάγωνο μέσα σε κύκλο.

• Δραστηριότητα 42 — Circle Art: Δημιούργησε σχέδιο μόνο με κύκλους και υπολόγισε εμβαδά.

• Δραστηριότητα 43 — Ρολόι: Υπολόγισε μήκος τόξου που διαγράφει ο λεπτοδείκτης σε 15 λεπτά.

• Δραστηριότητα 44 — Κυκλικός τομέας: δημιούργησε δικό σου πρόβλημα και λύσε το.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 7
Α. Για r=7cm βρες μήκος και εμβαδόν.
Β. Για d=12cm βρες μήκος κύκλου.
Γ. Βρες μήκος τόξου 60° σε r=6cm.
Δ. Βρες εμβαδόν τομέα 90° με r=4cm.
Ε. Εξήγησε γιατί διπλασιάζοντας την ακτίνα τετραπλασιάζεται το εμβαδόν.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 7
1. L= α)πr² β)2πr γ)πd².
2. A= α)2πr β)πr² γ)πr.
3. Τόξο 180° είναι μισός κύκλος. (Σ/Λ)
4. Το εμβαδόν εξαρτάται γραμμικά από r. (Σ/Λ)
5. Το π είναι περίπου 3,14. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1β, 2β, 3Σ, 4Λ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Ένας τροχός έχει διάμετρο 70 cm. Πόσα εκατοστά περίπου διανύει σε μία πλήρη περιστροφή;

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 7 — «Ο κύκλος στην πόλη»
Φωτογράφισε ή σχεδίασε 5 κυκλικά αντικείμενα και για δύο από αυτά υπολόγισε μήκος/εμβαδόν με ρεαλιστικές διαστάσεις.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 7 — 20 μονάδες
1. (4) Μήκος κύκλου.
2. (4) Εμβαδόν κύκλου.
3. (4) Μήκος τόξου.
4. (4) Εμβαδόν τομέα.
5. (4) Συνδυαστικό πρόβλημα.

 

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 — ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ & ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΤΕΡΕΩΝ

Από το επίπεδο περνάμε στον χώρο: επιφάνειες, όγκοι, πρίσματα, κύλινδροι, πυραμίδες, κώνοι και σφαίρες.

Α. Αναλυτική θεωρία

8.1 Ευθείες και επίπεδα στον χώρο

Στον χώρο μελετάμε θέσεις ευθειών και επιπέδων: παράλληλες, τεμνόμενες και κάθετες σχέσεις.

8.2–8.3 Πρίσμα και κύλινδρος

Όγκος πρίσματος=εμβαδόν βάσης·ύψος. Όγκος κυλίνδρου=πr²h. Η παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου συνδέεται με το μήκος κύκλου της βάσης και το ύψος.

8.4 Πυραμίδα

Όγκος πυραμίδας=(1/3)·εμβαδόν βάσης·ύψος.

8.5 Κώνος

Όγκος κώνου=(1/3)πr²h.

8.6 Σφαίρα

Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας=4πr² και όγκος=(4/3)πr³.

8.7 Γεωγραφικές συντεταγμένες

Γεωγραφικό πλάτος και μήκος χρησιμοποιούνται για τον εντοπισμό θέσης στη Γη.

Β. Παραδείγματα

• Κύλινδρος r=3cm, h=10cm → V=90π cm³.

• Κουτί 4×5×6cm → V=120cm³.

Γ. Δραστηριότητες / Math Lab

• Δραστηριότητα 45 — Packaging Lab: σχεδίασε κουτί και υπολόγισε όγκο.

• Δραστηριότητα 46 — Can Challenge: σύγκρινε δύο κυλινδρικά κουτιά με ίδιο όγκο.

• Δραστηριότητα 47 — Cone vs Cylinder: σύγκρινε όγκους με ίδια βάση και ύψος.

• Δραστηριότητα 48 — Sphere in a Box: υπολόγισε τον χώρο που καταλαμβάνει σφαίρα σε κύβο.

• Δραστηριότητα 49 — 3D Classroom: εντόπισε 10 στερεά στο σχολείο.

• Δραστηριότητα 50 — Geo Coordinates: βρες τις συντεταγμένες τριών πόλεων σε χάρτη και εξήγησε τι σημαίνουν.

Δ. Φύλλο εργασίας

Φύλλο εργασίας 8
Α. Κύβος ακμής 4cm: όγκος.
Β. Πρίσμα με βάση 12cm² και ύψος 7cm: όγκος.
Γ. Κύλινδρος r=2cm, h=5cm: όγκος.
Δ. Πυραμίδα με βάση 30cm² και ύψος 9cm: όγκος.
Ε. Σφαίρα r=3cm: όγκος και εμβαδόν επιφάνειας.

Ε. Quiz αυτοελέγχου

Quiz 8
1. Όγκος κυλίνδρου: α)2πr β)πr²h γ)πr².
2. Όγκος πυραμίδας έχει συντελεστή: α)1/2 β)1/3 γ)2.
3. Η σφαίρα έχει όγκο (4/3)πr³. (Σ/Λ)
4. Ο όγκος μετριέται σε κυβικές μονάδες. (Σ/Λ)
5. Το γεωγραφικό μήκος μετράται ανατολικά/δυτικά από μεσημβρινό αναφοράς. (Σ/Λ)
Απαντήσεις: 1β, 2β, 3Σ, 4Σ, 5Σ.

ΣΤ. Γρίφος της εβδομάδας

Γρίφος: Ένα κουτί 10×10×10 cm και ένας κύλινδρος ακτίνας 5cm, ύψους 10cm. Ποιος έχει μεγαλύτερο όγκο; Υπολόγισε.

Ζ. Εργασία / Project

Εργασία 8 — «Μικρή επιχείρηση συσκευασίας»
Σχεδίασε τρεις συσκευασίες για το ίδιο προϊόν, υπολόγισε όγκους και εξήγησε ποια είναι πιο αποδοτική ως προς τον χώρο.

Η. Τεστ κεφαλαίου

Τεστ Κεφαλαίου 8 — 20 μονάδες
1. (4) Όγκος πρίσματος.
2. (4) Όγκος κυλίνδρου.
3. (4) Πυραμίδα/κώνος.
4. (4) Σφαίρα.
5. (4) Εφαρμογή συσκευασίας/γεωγραφικών συντεταγμένων.

 

 

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 — ΜΕΓΑΛΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ

Χρησιμοποίησε τις παρακάτω δραστηριότητες ως επαναληπτικούς σταθμούς πριν από διαγωνίσματα ή στο τέλος τριμήνου.

• Σταθμός 1 — Equation Relay: ομάδες λύνουν διαδοχικές εξισώσεις και ελέγχουν η μία την άλλη.

• Σταθμός 2 — Root Race: εκτιμήσεις τετραγωνικών ριζών στον αριθμητικό άξονα.

• Σταθμός 3 — Function Match: αντιστοίχιση τύπου, πίνακα και γραφικής παράστασης.

• Σταθμός 4 — Data Detective: εντοπισμός μέσης τιμής, διαμέσου και παραπλανητικού γραφήματος.

• Σταθμός 5 — Pythagoras Escape: 4 κλειδωμένα προβλήματα οδηγούν σε κωδικό.

• Σταθμός 6 — Trig Tower: υπολογισμός ύψους με γωνία και απόσταση.

• Σταθμός 7 — Circle Factory: μήκος, τόξο, εμβαδόν και τομέας.

• Σταθμός 8 — 3D Warehouse: όγκοι και επιφάνειες στερεών.

• Σταθμός 9 — Mixed Challenge: ένα πρόβλημα που απαιτεί εξίσωση + γεωμετρία.

• Σταθμός 10 — Μαθηματικός Μαραθώνιος: 20 σύντομες ερωτήσεις από όλη την ύλη.

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 — MATH LAB ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Προτεινόμενα projects που συνδέουν τα Μαθηματικά με το σχολείο, την πόλη και την καθημερινή ζωή.

• «Η αυλή σε τετραγωνικά μέτρα» — μετρήσεις, κλίμακα, εμβαδά.

• «Θερμοκρασία και γράφημα» — συλλογή δεδομένων και στατιστική.

• «Η πόλη ως καρτεσιανό επίπεδο» — σημεία ενδιαφέροντος και συντεταγμένες.

• «Πόσο ψηλό είναι;» — εκτίμηση ύψους με αναλογίες/τριγωνομετρία.

• «Κύκλοι παντού» — φωτογραφική συλλογή και υπολογισμοί.

• «Έξυπνη συσκευασία» — όγκος, επιφάνεια και σχεδιασμός.

• «Μαθηματικά στη φύση» — συμμετρίες, σχήματα, μετρήσεις και μοτίβα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 — EXIT TICKETS

Στο τέλος κάθε μαθήματος οι μαθητές απαντούν σύντομα:

• Σήμερα κατάλαβα…

• Ένα σημείο που χρειάζομαι ξανά…

• Ένα παράδειγμα από την καθημερινότητα…

• Μια ερώτηση που έχω…

• Από 1 έως 5, πόσο σίγουρος/η νιώθω ότι μπορώ να λύσω παρόμοια άσκηση;

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 — ΤΕΛΙΚΟ QUIZ 30 ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

1. Λύσε 3x+4=19.

2. Λύσε −2x=14.

3. Βρες √144.

4. Πες αν √7 είναι ρητός ή άρρητος.

5. Υπολόγισε y για y=2x−1 και x=5.

6. Ποιο σημείο ανήκει στη y=x; (0,1), (2,2), (3,1).

7. Βρες μέση τιμή των 4,6,8.

8. Βρες διάμεσο των 2,3,9,10,20.

9. Βρες εμβαδόν ορθογωνίου 7×9.

10. Μετέτρεψε 2m² σε cm².

11. Εφάρμοσε Πυθαγόρειο σε πλευρές 5,12,13.

12. Βρες ημ30°.

13. Βρες συν60°.

14. Βρες εφ45°.

15. Τι είναι διάνυσμα;

16. Βρες μήκος κύκλου ακτίνας 4.

17. Βρες εμβαδόν κύκλου ακτίνας 4.

18. Βρες μήκος τόξου 90° σε r=8.

19. Βρες όγκο κύβου ακμής 3.

20. Βρες όγκο κυλίνδρου r=2,h=5.

21. Ποια είναι η διαφορά πληθυσμού και δείγματος;

22. Τι είναι σχετική συχνότητα;

23. Ποιος είναι ο ρόλος του β στη y=αx+β;

24. Πότε αλλάζει φορά μια ανίσωση;

25. Γιατί η √2 δεν είναι ρητός αριθμός;

26. Δώσε εφαρμογή συνάρτησης.

27. Δώσε εφαρμογή Πυθαγορείου.

28. Δώσε εφαρμογή τριγωνομετρίας.

29. Δώσε εφαρμογή στατιστικής.

30. Γράψε ένα μαθηματικό ερώτημα που θα ήθελες να διερευνήσεις.

 

 

Ημερομηνία δημιουργίας

Τετάρτη 16 Σεπτεμβρίου 2026